
- •Лекция №6 Математическое описание линейных систем автоматического управления
- •Классификация систем
- •Принцип суперпозиции
- •Уравнения динамических систем
- •Передаточные функции
- •Частотные функции
- •Временные характеристики сау. Понятие о функции Грина
- •Вопросы
- •Лекция №9 Устойчивость линейных стационарных систем
- •Понятие устойчивости
- •Устойчивость по входу
- •Характеристическое уравнение
- •Необходимое и достаточное условие устойчивости
- •Условие строгой реализуемости передаточной функции
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •Критерий устойчивости Гурвица
- •Критерий Льенара
- •Критерий устойчивости Рауса
- •Вопросы
- •Лекция № 10 Частотные критерии устойчивости
- •Критерий Михайлова
- •Анализ устойчивости типовых структур
- •Понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе
- •Влияние звена чистого запаздывания на устойчивость
- •Вопросы
Частотные функции
Если
входное возмущение представляет собой
гармоническое колебание
,
то передаточная функция превращается
в частотную функцию или в частотную
характеристику линейной системы
- называется
частотной передаточной функцией.
Ее можно представить в виде:
(6.24.)
где
;
; (6.25.)
A()- амплитудно-частотная характеристика;
()- фазочастотная характеристика.
Рисунок 6‑4 Частотная передаточная функция
На комплексной плоскости частотная передаточная функция определяет вектор 0C (длина) модуль - АЧХ, ( )- фазочастотная характеристика (рис 6-3).
Физический смысл частотной характеристики
Установим,
какой же физический смысл имеют частотные
характеристики. Если на вход устойчивой
линейной системы (стационарной) подается
гармонический сигнал
,
то на ее выходе после окончания переходного
процесса устанавливается гармонический
процесс с амплитудой в b
и фазой
сдвинутой относительно фазы входного
сигнала на угол
(рис 6-5)
Рисунок 6‑5 Линейная система
Амплитуда
b
и сдвиг фазы
зависят от частоты входного сигнала и
свойств системы. Кроме того, амплитуда
b
зависит еще от амплитуды входного
сигнала а.
Но отношение
не зависит от амплитуды a.
Оказывается, что
и
,
то есть амплитудная
частотная функция равна отношению
амплитуды выходного сигнала к амплитуде
входного гармонического сигнала (в
установившемся режиме), а фазовая
частотная функция сдвигу фазы выходного
сигнала.
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ)
Кроме перечисленных логарифмических частотных характеристик используются (ЛЧХ) - логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные характеристики (ЛФЧХ).
ЛАЧХ
- это график зависимости
от
логарифма частоты
.
При построении ЛАЧХ по оси абсцисс
откладывают частоту в логарифмическом
масштабе (на отметке, соответствующей
значению
,
указывают значение
,
а по оси ординат - L()).
ЛФЧХ - это график зависимости фазовой частотной функции () от логарифма частоты .
Временные характеристики сау. Понятие о функции Грина
Для описания нелинейных детерминированных систем очень полезным является понятие функция Грина.
Пусть L представляет собой операторы дифференцирования, интегрирования и умножения на константу.
Например:
;
где
-
выходной процесс,
-
входной процесс, a0,
a1,
a2
- постоянные коэффициенты. Это линейные
уравнения второго порядка. Видно, если
-
является решением уравнения
,
то
-
также решением. Если y
и z
- решения уравнения, то
и
,
то есть
y+ z - также являются решением.
Рассмотрим
x1
решение уравнения
и решение x2
решение уравнения
.
Тогда
.
Это наш первый и очень полезный результат,
из которого вытекает следующее очень
важное заключение:
Любое
сложное входное воздействие можно
представить в виде суммы составляющих,
для каждой из которых уравнение можно
решить отдельно. Складывая их, можно
получить решение, соответствующее
полному входному воздействию
.
1. то
есть
;
Например
-
ряд Фурье.
2. можно выбрать и другой набор
Это импульсные функции единичной интенсивности. Отклик на такой импульс имеет характер затухающих колебаний.
Общее решение получается в результате интегрирования по всем откликам, соответствующим импульсам, которые образуют входное воздействие. В этом заключается идея метода функций Грина.
Понятие функции Грина
Чтобы
решить уравнение
,
где L=
p
линейный дифференциальный оператор.
Предположим, что мы нашли оператор,
обратный к L
(обозначим его через
L-1),
такой что
(где
I
- тождественный
оператор). Например, если
,
то L-1
является оператором интегрирования
;
.
Для дифференциального оператора общего вида можно предположить, что
L-1
представляет собой интегральный оператор
с ядром
,
то есть
(6.26.)
Если найдено ядро G, то с помощью этого равенства можно найти решение дифференциального уравнения. Причем - это функция Грина, которая является очень полезным понятием. Это мы раскроем чуть позже.
Действуя вновь оператором по (1), получаем
(6.27.)
Поскольку оператор интегрирования и дифференцирования являются линейными, то их можно поменять местами. Тогда первая часть
(6.28.)
И поскольку слева, очевидно стоит , то получаем
(6.29.)
Известно,
что
должно иметь следующее соотношение
(6.30.)
Из уравнения (5) вытекает очень важный факт, что ядро , которое называется функцией Грина, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если входное воздействие заменить на - функцию.
Оказывается функция Грина имеет простой физический смысл: это отклик на единичное импульсное воздействие
Простые системы типа "вход-выход" и функция Грина
x
(t)
y(t)
Система
называется инвариантной во времени
(или систем с постоянными параметрами),
если входное воздействие
возрождает
отклик
.
Если
входным сигналам x1(t)
и x2(t)
соответствуют выходные сигналы y1(t)и
y2(t)и
при этом входной сигнал
(а1
и а2
- константы) соответствует выходному
сигналу
-
то система называется линейной.
при
-
условие физической реализуемости.
Для стационарных систем
.