4.Субоптимальные расписания

Ввиду того, что задача Fm | | C_max относится к числу NP-трудных, будем искать ее приближенно оптимальные решения (субоптимальные расписания).

Пусть f: ℙ_n → R - некоторая функция, а p ∈ ℙ_n - перестановка элементов 1, 2, ..., п. Понимая под f(p) критерий некоторой задачи дискретной оптимизации, мы можем говорить, что задача состоит в определении такой (экстремальной) перестановки p^* ∈ ℙ_n, на которой функция f(p), определенная на множестве ℙ_n, достигает минимально­го (максимального) значения. В тех случаях, когда определение (отыскание) глобального экстремума f(p), а вместе с ним и экстре­мальной перестановки p^* , является проблематичным (например, для NP-трудных задач), переходят к поиску приближенно оптимальных решений. В частности, под приближенно оптимальными понимают решения, оптимальные в некоторой окрестности (локальные экстре­мумы). При этом как окрестность элемента p ∈ ℙ_n рассматривают множество элементов N(p) ⊆ ℙ_n, которые в каком-то смысле являют­ся соседними с p.

Привычное понимание окрестности точки как шара с центром в ней предполагает более точное определение N(p). Для этого предва­рительно необходимо задать метрику на множестве ℙ_n.

Для удобства изложения сделаем две эквивалентные замены: вме­сто перестановки p будем рассматривать перестановочное расписа­ние π(p), вместо множества ℙ_n - множество P всех перестановочных расписаний. Метрику на множестве P зададим с помощью оператора преобразования (оператор введен таким образом, что мож­но считать его определенным на перестановках).

Пусть 𝜋 и 𝜋₁ - два произвольных перестановочных расписания для сис­темы заданий {t₁ t₂, ..., t_n}: π ∈ P, π₁ ∈ P. В соответствии с теоремой 1 существует композиция длины i≤n, переводящая расписание π в π₁: π₁ = . Очевидно, композиция преобразований, которая переводит расписа­ние p в p1, не единственна. В частности, если в композиции

имеет место k_∝-1 < l_α-1 = k_α < l_α, то

Эти две композиции эквивалентны в том смысле, что обе порождают одно и то же перестановочное расписание. При этом длина первой композиции на 1 больше длины второй.

Рассмотрим множество Ω(π, π₁) всех композиций, переводящих расписание π в π₁. Обозначим через i_r длину r-й композиции множе­ства Ω(π, π₁). Образуем множество I = {i₁, i₂, ..., i_r, ...}. Из множест­ва Ω(π, π₁) выделим минимальную композицию (композицию ми­нимальной длины). При этом несущественно, что минимальная ком­позиция может оказаться не единственной. Пусть длина минималь­ной композиции есть s:

Очевидно, имеет место неравенство 0 ≤s≤ п, причем s = 0 в том и только в том случае, когда .

Введем функцию ρ(π, π₁):

ρ(π, π₁)) = s ).

Функция ρ(π, π₁) обладает следующими свойствами:

1. π, π₁ ∈ P: ρ(π, π₁) ≥ 0;

2. ρ(π, π₁) = 0 ⇔ π = π₁;

3. π, π₁ ∈ P: ρ(π, π₁) = ρ(π₁, π);

4. π, π₁, ∈ P: ρ(π, π₁) + ρ(π₁, π₂) ≥ ρ(π, π₂).

Свойства 1 и 2 функции ρ(π, π₁) очевидны.

Доказательство свойства 3.

Допустим, ρ(π, π₁) ≠ ρ(π₁, π) : ρ(π, π₁)= α > ρ(π, π₁) = β. Рас­смотрим минимальную композицию из β преобразований, переводя­щую расписание π₁≡ π₁(ρ_*) в расписание π₁≡ π₁(ρ):

В соответствии с определением композиции преобразований спра­ведливо следующее (рекуррентное) представление расписания :

=

=

………………………………………….

=

где - перестановки индексов 1, 2, ..., n, определяю­щие расписания соответственно.

Заметим, что перестановка однозначно определяется перестановкой p₁ и индексами преобразований k₁, l₁, ..., . Поэтому можно считать известными индексы следующих обрат­ных преобразований:

…………………………………..

Отсюда

Длина композиции в правой части последнего равенства есть β. Следовательно, ρ(π, π₁)≤β. Это неравенство противоречит сделан­ному предположению ρ(π, π₁) = α>β. Полученное противоречие показывает, что предположение ρ(π, π₁) ≠ ρ(π₁, π) неверно.

Свойство 3 доказано.

Таким образом, функция ρ(π, π₁) определяет метрику на множе­стве P перестановочных расписаний. Используя функцию ρ(π, π₁), введем понятие s-окрестности расписания.

Определение 9. S-окрестностью расписания π называется множество P_s(π) = {π_r | π_r ∈ P, ρ(π, π_r) ≤ s}.

Множество P_s(π) состоит из всех расписаний, которые можно полу­чить из π s-кратным применением оператора преобразования . Например, если , то и т. д. Размер s-окрестности Р_s( ) оценивается как O .

Пусть критерий оценки расписания есть , а задача состоит в его минимизации.

Определение 10. Расписание называется оптимальным в окрестности P_s(π) относительно критерия ,если

Определение 11. Расписание называется s-локально оп­тимальным, или просто s-оптимальным, относительно критерия если оно оптимально (относительно этого критерия) в своей s-окрестности

Определение 12. Субоптимальным расписанием называет­ся любое s-оптимальное расписание.

Очевидно, s-оптимальное расписание является и s₁-оптимальным при любом s₁ < s. Оптимальное решение задачи является и s-оптимальным при любом s. Субоптимальное решение тем точнее (ближе к оптимальному с точки зрения выбранного критерия качества ), чем больше значение s.

Далее приводится ряд результатов, позволяющих снизить трудо­емкость нахождения расписания, оптимального в окрестности, а вме­сте с этим и s-оптимальных решений задачи.