2.Математическая модель

Для нахождения оптимального решения описанной задачи доста­точно исследовать множество (класс) P квазикомпактных перестано­вочных расписаний без искусственных простоев[3]. Перестановоч­ные расписания полностью определяются порядком выполнения ра­бот и в случае n работ задаются одной из n! возможных перестановок их номеров.

Введем следующие обозначения:

1. _n - множество всех перестановок из n элементов 1, 2, ..., n;

2. p(r) - r-й элемент перестановки p ∈ _n.

Перестановке p соответствует упорядочение работ (расписание, перестановочное расписание) (p) = (t_p(1) , t_p(2), , … , t_p(n)) ∈ P. Если p(r) = k, то работа t_k в расписании 𝜋(p) занимает r-е место. Если p(r) = r при всех r = 1, 2, ..., n, то расписание 𝜋 (p) есть (t₁, t₂, ..., t_n).

Обозначим через C_p(r)(𝜋, i) момент завершения выполнения i-й операции (на машине М_i) работы, занимающей в расписании 𝜋 (p) r-е место. Из постановки задачи следует, что для расчета моментов завершения операций C_p(r)(𝜋, i) можно воспользоваться следующими рекуррентными соотношениями:

В дальнейшем, вместо будем использовать обозначе­ние C( , i). Величина определяет момент окончания обра­ботки, то есть длину расписания π. Для обозначения длины расписа­ния π будем пользоваться сокращенной формой записи: C_max (π) или C(π). Момент завершения выполнения i-й операции конкретной работы t_k обозначим C_k(π, i), ; C_k(𝜋, m) ≡ C_k(𝜋) - момент окончания выполнения работы t_k.

Условия (1) отражают тот факт, что конвейерная система функ­ционирует без искусственных простоев.

Критерий оценки расписания есть C_max. Задача состоит в нахож­дении расписания 𝜋_opt, такого, что

Для решения задачи используем матричную модель.

Определение 1. Последовательность элементов-клеток произвольной вещественной матрицы A = [a_ij]_mxn называется сегмен­том, если каждый элемент (i, r) последовательности (кроме послед­него) предшествует либо элементу (i + 1, r), либо элементу (i, r + 1).

Сегмент, первый элемент которого есть (a, b), а последний (c, d), будем обозначать ^abS_cd.

Определение 2. Сегмент¹¹S_mn ≡ S называется путем.

Сегменту ^abS_cd в матрице A = [a_ij]_mxn поставим в соответствие по­следовательность элементов матрицы:

1. определим M(A) = {a_ij} - множество всех элементов матрицы A;

2. определим биекцию множества (последовательности элемен­тов) ^abS_cd во множество M(^abS_cd) ⊂ M(A):

(i, j) ∈ ^abS_cd a. ∈ M(^abScd).

Будем считать множество M(^abS_cd) упорядоченным: если a_ij ∈ M(^abS_cd), a_kl ∈ M(^abS_cd) и i + j < k + l, то a_ij ≺ a_kl (из определения пути следует, что i + j ≠ k + l).

Работу t_j будем описывать вектором

A_j = [a_1j… a_mj], (3)

расписание 𝜋(p) - матрицей времен выполнения работ

A = [A_{p (1)} A_{p (2)}, …, A_p(n)], (4)

составленной из столбцов A_j, j = . Так, расписанию 𝜋(p) = (t₁, t₂, ..., t_n) соответствует матрица A ≡ A(π) = [A₁, A₂, ..., A_n]. Для матрицы A введем специальную числовую характеристику -определитель A^V:

Сопоставляя (1) и (5), заключаем, что A^V≡ C(π), A^V - время за­вершения выполнения последней работы в расписании π. Таким об­разом, задача (1), (2) поиска оптимального расписания сводится к нахождению экстремальной перестановки столбцов в матрице A времен выполнения работ.

Легко видеть, что в выражении (5) суммирование выполняется вдоль пути матрицы A(p) и

где {S} - множество всех путей матрицы A(p).

Определение 3. Путь S называется критическим, если

Пронумеруем все пути матрицы A(π) времен выполнения работ: S₁, S₂,…, S_q. Обозначим множество всех критических путей в мат­рице A(π) через M. Пусть I_M - множество всех индексов u, таких, что и ∈ I_M ⊆{1, 2, ..., q}⟹ S_u ∈ M .

В тех случаях, когда возможны разночтения, для M и I_M будем ука­зывать их связь с конкретным расписанием: M (π) и I_M (π). Для построения критического пути в матрице A(π) можно исполь­зовать следующую процедуру сложности O(n). Критический S путь строится от конца к началу; (m, n) ϵ S. Пусть (i, r) ϵ S.

Если i = 1, то (1, j) ∈ S для всех j = .

Если r = 1, то (k, 1) ∈ S для всех k = .

Пусть i > 1 и r > 1. Если , то (i - 1, r) ∈ S; в противном случае (i, r - 1) ∈ S.

Описанная процедура находит один критический путь из множе­ства M(π). Как видно из п. 3, при построении критического пути удобно пользоваться матрицей = [C_p(r)(π, i)]_mxn моментов оконча­ний выполнения работ.

Рассмотрим сегмент ^abS_cd пути S в матрице A(π) времен выполне­ния работ расписания π(p). Сегмент ^ab S_cd определяет подмат­рицу ^abA_cd, состоящую из строк с a-й по c-ю и столбцов с b-го по d-й матрицы A. Из выражений (1), (5) и (6) следует, что

Пример 1.1 По заданной матрице

	1		2	3		3		4	4
A(π) =	3		4	5		5		1	2
	5		6	2		2		3	4
	4		5	6		1		8	3

времен выполнения построим матрицу _mxn моментов окончаний выполнения работ расписания π(p):

	1	3	6	9	13	17
С𝜋 =	4	8	13	18	19	21
	9	15	17	20	23	27
	13	20	26	27	35	38