Метод фигур Лиссажу

Для определения частоты неизвестного гармонического колебания используют метод фигур Лиссажу. Исследуемое колебание складывается с взаимноперпендикулярным колебанием известной частоты. В общем случае в результате сложения получаются кривые сложной формы, называемые фигурами Лиссажу. По общему виду этих фигур можно определить частоту исследуемого колебания.

Пусть на горизонтально отклоняющие пластины подаются гармонические колебания, изменяющиеся по закону

,

(7)

а на вертикально отклоняющие пластины подаются колебания, уравнение которых имеет вид:

,

(8)

где φ – начальная разность фаз между колебаниями. Чтобы найти уравнение траектории точки, участвующей одновременно в обоих колебаниях, необходимо из уравнений (7) и (8) исключить время t. Для этого преобразуем уравнение (8) к виду

(9)

К левой и правой частям уравнения (9) прибавим

Получим:

(10)

По формуле Муавра

(11)

Тогда

(12)

Но

(13)

Из (7) следует, что

,

Поэтому (13) принимает вид

(14)

Учитывая (12), получим, что

(15)

Если к правой части уравнения (15) применить формулу бинома Ньютона, то все члены разложения будут мнимыми, за исключением первого члена. Первый член разложения будет действительным и будет иметь вид:

Два комплексных числа равны друг другу в том случае, если порознь равны между собою действительные и мнимые части этих чисел, следовательно:

(17)

Это и есть уравнение траектории колеблющейся точки. По общему виду уравнения (17) трудно судить о форме траектории. Форму траектории легко определить лишь в некоторых частных случаях. Например, если складываемые колебания имеют одинаковую частоту ( , n=1). То (17) преобразуется к виду

Или

(18)

Это и есть общее уравнение эллипса. Частные случаи:

Колебания происходят в одинаковых фазах, то есть сдвиг фаз φ=0

Тогда: или:

Это уравнение прямой.

б) Если разность фаз φ=π, то в этом случае эллипс вырождается в прямую, но проходящую во втором и четвертом координатных четвертях

в) Если , то уравнение (18) принимает вид

(19)

Таким образом, в этом случае траектория точки имеет форму эллипса, оси которого совпадают с осями координат.

Если амплитуда колебаний x₀ и y₀ одинаковы, то эллипс вырождается в окружность.

В более общем случае, когда n≠1, то есть любое рациональное число, и может быть представлено в виде отношения двух целых чисел n_x и n_y, то

,

(20)

а с другой стороны , где ω_x и ω_y – циклические частоты колебаний напряжений U_x и U_y. Но

,

Тогда

(21)

Из формул (20) и (21) следует, что

,

(22)

отсюда вытекает правило нахождения отношения частот по фигурам Лиссажу. Через фигуру Лиссажу проводятся две взаимно-перпендикулярные прямые, параллельные осям 0x и 0y.

Затем подсчитывается число точек пересечения n_x фигуры Лиссажу с прямой, параллельной оси 0x, и число точек пересечения n_y фигуры Лиссажу с прямой, параллельной оси 0y. Когда прямая проходит через точку пересечения ветвей фигуры Лиссажу, то ее считают дважды.

Зная отношение частот и частоту колебаний , подаваемых на вход «X», можно определить частоту колебаний, подаваемых на вход «Y». В этом случае неизвестная частота равна

(23)

В данной работе на вертикально отклоняющие пластины подается исследуемое напряжение от звукового генератора, а на горизонтально отклоняющие пластины – напряжение от сети переменного тока с частотой , где ν_x=50 Гц.

При этом на экране осциллографа появляются фигуры Лиссажу, характер которых зависит от соотношения частот ν_x и ν_y. Амплитуды этих колебаний устанавливаются такими, чтобы на экране осциллографа получилось изображение фигур, вписываемые в квадрат. Изменяя частоту звукового генератора, можно добиться того, чтобы на экране получилась неподвижная и наиболее простая фигура Лиссажу.