Билет 16. Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.

Если изолированная особая точка не является ни устранимой, ни полюсом, то она называется существенно особой точкой. Это означает что в её разложении в ряд Лорана существует бесконечное число коэффициентов с отрицательными номерами. Не существует ни конечного ни бесконечного предела функции в этой точке. Т Сохоцкого-Вейерштрасса. Множество значений функции f(z) в окрестности существенно особой точки совпадает с замыканием комплексной плоскости. Док-во. От противного – предполагаем существание A. Если A = inf, то модуль в окрестности ограничен и точка устранимая. Если A != inf, рассматриваем |f(z) – A| > p > 0. Тогда 1/|f-A| < 1/p, те q(z) = 1/(f(z) – A) аналитична в окрестности и ограничена по модулю. Точка z0 – устранимая для неё, поэтому lim<zz0>q(z) = A0. A0 = 0  lim <zz0>(f(z)-A) = inf,  f(z)  inf  полюс. Если не равно 0, то lim<zz0>f(z) = A + 1/A0, те z0 – устранимая особая точка f(z). ЧТД.

Билет 17. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Основная теорема о вычетах.

Пусть z0 != inf – изолированная особая точка функции f(z), f(z (~A(0 < |z – z0| < r), Г – любой жорданов, кусочно-гладкий, замкнутый контур из этой области и содержащий внутри себя z0. Вычетом функции f(z) в точке z0 называется (1/(2пi))$<Г>f(w)dw и обозначается Res<z=z0>f(z) или res<z=z0>f(z). Из т Коши Res<z=z0>f(z) = (1/(2пi))$<|w-z0|=eps>f(w)dw. Пусть z0 = inf – изолированная особая точка f(z), f(z) (~ A(|z|>R0), R0 – достаточно большое. По определению Res<z0=inf>f(z) = (1/(2пi))$<Г>f(w)dw, где Г лежит вне круга радиуса R0 и содержит точку 0 внутри себя. Обход контура совершается по часовой стрелке (область DГ остается слева при обходе). По Т Коши Res<z=inf>(-1/(2пi))$<|w| = R>f(w)dw (обход против часовой). Вычисление вычетов. По теореме Лорана раскладываем функцию, записываем вычет (не для бесконечности) и получаем, что он равен a-1 (это получается просто по формуле коэффицинетов).. Для бесконечности аналогично получаем, что он равен –a-1. Пусть точка не равная бесконечности – полюс m-ого порядка. Тогда f(z)(z – z0)^m = a-m + a-m-1(z-z0) +… возьмем (m-1)ую производную от обеих частей – получим [f(z)(z-z0)^m](m-1) = (m-1)!a-1 + Add(i=0, inf)(i+m)(i+m-1)…(i+2)ai(z-z0)^(i+1). Устремим z z0 и получим, что a-1 = [1/(m-1)!]lim<zz0>[f(z)(z-z0^m)](m-1). Т о вычетах. Пусть ограниченная область D с границей dD , являющейся контуром, такова, что точки z1, z2… zn (~ D изолированные особые точки функции f(z) и f(z) (~A(D\{z1,…zn}))&&C(dD). Тогда (1/(2пi))$<dD>f(w)dw = Add(k=1, n)Res<z=zk>f(z). Док-во: опишем каждую из точек окружностью, так чтобы круг целиком лежал в области и круги не пересекались, по т Коши для многосвязной области справедливо равенство из условия теоремы. ЧТД. Следствие – если f(z) (~A(C\{z1,…, zn})), где точки изолированные и особе, и z0 = inf тоже особая изолированная точка, то Add(k=0, n)Rez<z=zk>f(z) = 0. Док-во: выберем достаточно большой радиус, чтобы внутри были все особые изолированные точки (кроме бесконечности). По т о вычетах получаем (1/(2пi))$<|w|=R>f(w)dw = Add(k=1, n) Res<z=zk>f(z) = - Res<z0=inf>f(z). ЧТД.