Билет 12. Аналитичность суммы степенного ряда. Теорема Тейлора.

Ряд вида Add(n=0, inf)an(z-z0)^n – степенной ряд с центром в точке z0, {an} – фиксированная последовательность комплексных чисел. Первая Т Абеля: если степенной ряд сходится в точке z1 != z0, то он сходится в точке z: |z- z0| < |z1-z0|, причем абсолютно. Док-во: |an(z-z0)^n| = |an(z1-z0)^n||(z-z0)^n/(z1-z0)^n|. Из сходимости ряда следует ограниченность его членов по модулю числом M. Тогда общий член нового ряда |a0(z-z0)^n| <= Mq^n, q < 1. Получаем, ЧТД. R = 1/(lim<up><ninf>sqr<n>an). Теорема Коши-Адамара. Если R = 0, то ряд сходится только в z0, если равен inf, то во всей комплексной плоскости абсолютно и равномерно внутри C. Иначе ряд сходится внутри круга данного радиуса, вне – расходится (в курсе мат анализа доказывается). Сумма степенного ряда внутри круга, радиуса R, по первой теореме Вейерштрасса – аналитическая функция. Её производная f(k)(z)=Add(n=k, inf)ann(n-1)…(n-k+1)(z-z0)^(n-k). При z= z0 f(k)(z0) = k!ak, ak = f(k)(z0)/k! Те f(z) = Add(k=0, inf)f(k)(z0)(z-z0)^k/k!, z (~ {z: |z-z0| < R}. Этот ряд – ряд Тейлора. Т Тейлора. Пусть функция аналитическая в области и выбрана точка из этой области не лежащая на границе (p = p(z0, dD) >0 может быть бесконечностью). Тогда функцию можно разложить в ряд Тейлора с центром в z0 внутри круга, радиуса меньше p. Док-во: выберем произвольный круг радиуса 0< p2 < p1 < p, для всех точек внутри меньшего круга имеем f(z) = (1/(2пi))$<|w-z0| = p1>f(w)dw/(w-z). Функцию 1/(w-z) (ядро интеграла) раскладываем в ряд в виде 1/(w-z) = 1/(w-z0)Add(n=0, inf)(z-z0)^n/(w-z0)^n, член ряда <= p2/p1 < 1  рассматриваемый ряд сходится равномерно по w, подставляем в выражение для интеграла и получаем, что f(z) = Add(n=0, inf)an(z-z0)^n (используем вид производной). В силу произвольности выбора исходных параметров ряд сходится в круге |z-z0|<p – максимальном круге лежащем в области с центром в z0. ЧТД.

Билет 13. Теорема единственности аналитической функции. Нули аналитической функции.

Пусть функция аналитична в некотой окрестности точки z0. Точка z0 называется 0 кратности k, если f(0)(z0) = f(1)(z0) =…=f(k-1)(z0), f(k)(z0)!=0. k= 1 – простой 0. Из определение нуля кратности k следует что функция в некоторой его окрестности представима в виде f(z) = Add(n=k, inf)an(z-z0)^n, ak != 0, |z-z0| < eps. Те f(z) = (z-z0)^kt(z), t(z) (~ A(Ueps(z0)). t(z0) != 0. Т Единственности. Пусть даны две функции, аналитические в области, и есть сходящаяся последовательность точек из области, которая имеет предельную точку так же из этой области. Тогда, если эти функции совпадают во всех точках последовательности, то они тождественно равны во всей области. Док-во: выберем подпоследовательность сходящуюся к предельной точке {z’n}. Раз z0 (~ D, следовательно существует эпс окрестность из этой области, разложим функции в ряды с центром в z0. f(z) = an(z-z0)^n, g(z) = bn(z-z0)^n, |z-z0|< eps. a0 = f(z0) = lim<ninf>f(z’n); b0 = g(z0)= lim<ninf>g(z’n). Из условия равенства вытекает, что a0 = b0. f(z) = a0 + (z-z0)f1(z). f1, g1 – аналитичны в области, f1(z’n) = g1(z’n). Аналогично f1(z0) = g1(z0)  a1 = b1. Те продолжая получим an = bn. Те внутри окрестности теорема верна. Для любой точки – соединяем две точки непрерывной кривой, она компакт, покрываем конечным числом окружностей нужного радиуса, получаем последовательно результат.