Билет 10. Неопределенный интеграл. Теорема Морера.

Рассмотреть аналитическую в области функцию f(z). В силу аналитичности функции F(z) = $<z0, z>f(w)dw не зависит от пути интегрирования. Её производная равна f(z). Док-во: рассматриваем разность между определением производной и f(z). Получаем $<z, z+дz>[f(w)-f(z)]dw/дz (заносим под интеграл). Пишем ограничение с модулями и (используя аналитичнось) получаем, что при стремлении дz 0 max|f(w)-f(z)|0. ЧТД. Раз производная функции аналитическая функция, то и она сама аналитическая функция в той же области. Функция Ф(z) – первообразная f(z), если она аналитическая функция в области и её производная равна f(z). F(z) будем называть неопределенным интегралом. Докажем, что он отличается от первообразной не более чем на константу. Производная F(z) – Ф(z) = ф(z) = 0. Покажем, что тогда ф(z) = const. Расписываем ф(z) через действительную и мнимую часть, каждая из них равна константе, значит и сама ф(z) равна константе, значит чтд. Получили формулу Ньютона-Лейбница. $<z0, z>f(w)dw = Ф(z) – Ф(z0). Т Морера. Пусть в односвязной области непрерывная функция имеет по любому замкнутому контуру интеграл равный 0, то она аналитична. Док-во: из условия теоремы F<z0, z>f(w)dw не зависит от пути интегрирования (попробывать достроить замкнутый контур при разных путях интегрирования), значит определение функции корректно, рассматриваем разность как в начале билета и получаем аналогичные оценки, те F(z) – аналитическая, она бесконечно раз диф-ма, значит и f(z) аналитическая.

Билет 11. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций.

Понятие числовых рядов полностью аналогичны вещественному случаю. Пусть на мн-ве задана последовательность функций. Ряд Add(n=1, inf)fn(z) называется функциональным рядом. Поточечная сходимость - сходимость в каждой точке мн-ва из области определения. Функциональный ряд сходится равномерно на мн-ве к функции f(z), если для любого eps>0 существует N(eps)> 0, для любого номера больше выбранного верно, что для любой точки из мн-ва |f(z) –Add(k=1, n)fk(z)| < eps. Критерий коши (как и миллион раз до этого билета для любого эпс существует н для любого п сумма по модулю меньше эпс). Т Ряд сходится равномерно тогда и только тогда, когда равномерно сходятся Add(n=1, inf)un(x,y) Add(n=1, inf)vn(x,y). Док-во - |fi(z)| <= |ui(x,y)| + |vi(x,y)| <= 2|fi(z)|. Через последнее утверждение легко доказать критерий коши, сославшись на критерий для вещественных. Св-ва: если все функции равномерно сходящегося ряда непрерывны, то и сумма непрерывна, если все интегрируемы по некоторой кривой и сходятся на ней , то и сумма интегрируема на этой кривой, причем интеграл суммы равен сумме интегралов. Функциональный ряд сходится равномерно внутри области, если сходится на любом компакте из этой области (условие более слабое). Первая теорема Вейерштрасса. Если все члены ряда аналитичны в области, и ряд равномерно сходится на любом компакте из области, то 1) f(z) (~ A(D) 2) f(k)(z) = Add(n=1, inf)fn(k)(z), ряд Add(n=1, inf)fn(k)(z) равномерно сходится внутри области. Док-во: выбираем произвольную точку. У неё есть замкнутая окрестность из области. По этой области для каждого слагаемого пишем интегральную формулу коши. Эта область – компакт, те на ней сходится, сумму меняем со знаком интеграла, получаем (из того, что каждое из слагаемых непрерывно, то и сумма непрерывна) что полученный интеграл (1/(2пi))$<w-z0>f(w)dw/(w-z) – интеграл типа Коши, который аналитический внутри окрестности, те из произвольности выбранной точки сумма будет аналитическая. Второе утверждение доказывается рассмотрением суммы ряда производных и тем, что мы знаем вид производной аналитической функции. Любой круг – компакт. Любой компакт из D по лемме Гейне-Бореля можно покрыть конечным числом кругов из области. Те сходимость на любом компакте эквивалентно сходимости на любом круге из области. Рассматриваем произвольный круг r из области и радиуса r1 > r с тем же центром и тоже из области. f(k)(z) – Add(i=1, n)fi(k)(z) = k!/(2пi)$f(w) – Add(i=1, n)fi(w)dw/(w – z)^(k+1) проводим оценку на модуль сверху как w-z = r1-r, а из равномерной сходимости на любом компакте исходного ряда получаем сходимость. ЧТД. Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть D – ограниченная область, любой член рада аналитический в самой области и непрерывен на её замыкании и сходится равномерно на её границе. Тогда ряд сходится равномерно во всей области к некоторой функции, аналитической в самой области и непрерывной в её замыкании. Док-во: рассматриваем сумму из критерия Коши по границе, она меньше по модулю наперед заданного эпс, из принципа максимума модуля аналитической функции получаем, что она меньше эпс по всей области, те по критерию Коши ряд сходится на всей области, используя свойства суммы и первую теорему Вейерштрасса получаем её свойства.