- •Билет 3. Дифференцируемость функции комплексного переменного. Аналитичность функции комплексного переменного.
- •Билет 4. Теорема Коши и её обобщение.
- •Билет 5. Интегральная формула Коши.
- •Билет 6. Принцип максимума аналитической функции.
- •Билет 7. Гармонические функции и их свойства. Принцип максимума.
- •Билет 8. Разложение гармонических функций в ряды. Ряд Фурье для гармонической функции.
- •Билет 9. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Лиувилля.
- •Билет 10. Неопределенный интеграл. Теорема Морера.
- •Билет 11. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций.
- •Билет 12. Аналитичность суммы степенного ряда. Теорема Тейлора.
- •Билет 13. Теорема единственности аналитической функции. Нули аналитической функции.
- •Билет 14. Ряды Лорана. Теорема Лорана.
- •Билет 15. Классификация изолированных особых точек. Устранимая особая точка. Полюс.
- •Билет 16. Существенно особая точка. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
- •Билет 17. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Основная теорема о вычетах.
- •Билет 18. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.
- •Билет 19. Логарифмический вычет. Теорема Руше. Принцип агрумента.
- •Билет 20. Аналитическое продолжение вещественной оси. Элементарные функции.
- •Билет 21. Аналитическое продолжение с помощью рядов и через границу. Принцип непрерывности.
- •Билет 22. Аналитическое продолжение Гамма функции Эйлера. Формула дополнения.
- •Билет 23. Основные принципы конформных отображений: принцип соответствия границ и принцип симметрии Римана-Шварца.
- •Билет 24. Свойство аналитической однолистной функции в области.
- •Билет 29. Следствие из решение задачи Дирихле для круга. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.
- •Билет 30. Функция Грина (функций источника).
- •Билет 31. Преобразование Лапласа и его основные свойства.
- •Билет 32. Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с помощью преобразования Лапласа.
Билет 32. Решение дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с помощью преобразования Лапласа.
Т Пусть функция F(p) в полуплоскости Re p > a является изображением кусочно-гладкой функции f(t), a – показатель степени роста. Тогда f(t) = (1/(2пi))<x-iinf, x +iinf>e^(pt)F(p)dp, x > a, t – точка непрерывности, интегрирование ведется по вертикальной прямой, проходящей через точку x. Док-во: рассмотрим q(t) = e^(-xt)f(t), x > a. Тогда q(t) – кусочно-гладкая, q(t) (~ L1(-inf, inf). В точках непрерывности представляется интегралом фурье q(t) = (1/(2п))$<-inf, inf>e^(-iyt) Q(y)dy, где Q(y) – преобразование Фурье функции q(t) (обозначается крышкой сверху). Q(y) = $<-inf, inf>e^(iyl)q(l)dl = F(x-iy), x > a. Подставляем в q(t) – выражаем f(t) = (1/2п)$<-inf, inf>e^(t(x-iy)F(x-iy)dy. Если y пробегает всю действительную прямую, то p = x – iy пробегает всю прямую через x. Замена, получаем ЧТД. Т (без док-ва) Пусть F(p) (~ A(Re p > a), lim<pinf>F(p) = 0. Для любого x существует $<x-iinf, x + iinf>|F(p)|dp. Тогда существует f(t):=F(t), f(t) = как в предыдущей теореме.
Пусть есть задача Коши a0y(n) +…+any = f(t), y(0) = y0…y(n-1)(0) = yn-1. Будем считать, что сама функция и её производные принадлежат классу на котором определено преобразование Лапласа. y(t) := Y(p), f(t):=F(p). Перейдем к новому уравнению (операционное уравнение): a0[p^n(Y(p) – y0/p - … - yn-1/p^n)] + … anY(p)= F(p). Тогда Y(p)[a0p^n + a1p^(n-1)+…+an] = F(p) + Qn-1(p), Qn-1 – многочлен, степени не выше n-1. Qn-1(p) = y0(a0p^(n-1) + a1p^(n-2) + …+an-1) + …+ a0yn-1, Многочлен L(p) = a0p^n + ..an – характеристический многочлен. Те Y(p) = (F(p) + Qn-1(p))/L(p), если начальные данные равны 0, то Y(p) = F(p)/L(p). По т Меллина восстановим оригинал: y(t) = (1/(2пi))$<x – iinf, x+iinf>e^(pt)Y(p)dp, x > Re p > a0, a0 – показатель степени роста. Если Y(p) имеет конечное число особых точек и lim <pinf>Y(p) = 0, то y(p) = Add<i=1, k>res<p=pi>[e^(pt)Y(p)]. Док-во: Рассмотрим контур из окружности радиуса R (который будем стремить к бесконечности) и прямой через (x, 0), x > a0. Получаем y(t) = lim <Rinf>(1/(2пi))$<x-isqr<2>(R^2 – x^2), x + isqr<2>(R^2-x^2)>e^(pt)Y(p)dp = разность интеграла по всему контуру минус интеграл по дуге, который по лемме Жордана равен –ю поэтому получаем по теореме о вычетах ЧТД.