Билет 29. Следствие из решение задачи Дирихле для круга. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами.

Пусть задана функция f(a) непрерывная на [0, 2п], f(0) = f(2п). Формально разложим её в ряд Фурье. f(a) ~ (1/(2п))$<0, 2п>f(t)dt + Add(n=1, inf)[(1/п)($<0, 2п>f(t)cosntdt)cosna + (1/п)($<0, 2п>f(t)sinntdt)sinna]. Решив задачу Дирихле построим u(r, a). Она гармоническая и её можно разложить в ряд (точно такой же как для f(a) только умножить на r^n) равномерно сходящийся по a. Хотя сам ряд Фурье может и расходится, мы его просуммировали методом Пуассона-Абеля. Те мы получили теорему. Т Вейерштрасса. Для любой непрерывной функции f(a), f(a) непрерывна на [0, 2п], f(0) = f(2п), для любого eps>0 существует тригонометрический многочлен T(a), такой, что |f(a) – T(a)| < eps. (Любую непрерывную функцию на [0, 2п] можно равномерно приблизить тригонометрическими многочленами, при условии что f(0) =f(2п)).

Билет 30. Функция Грина (функций источника).

Функция G(z, w), z, w (~ D (область) является функцией источника для первой краевой задачи (функцией Грина для области), если 1) G(z, o) = (1/2п)ln(1/|z-o|) + g(z, o), где g(z, o) – гармоническая в области D по z при фиксированном o, те czg(z, o) = 0. 2) G(z, o) |z(~dD = 0. Если сушествует функция грина, то решение задачи Дирихле u(z) = $<dD>dG(z,o)h(o)dг/dn. Здесь дг – дифференциал длины дуги, а производная берется по внутренней нормали (без доказательства). Рассмотрим случаи существования функции Грина. Если область односвязная, с границей замкнутой кусочно-гладкой жордановой кривой, то функция Грина всегда существует. Рассмотрим односвязную область, граница которой содержит более одной точки. По т Римана(её нет в билетах, в лекциях без док-ва) её можно отобразить на внутренность единичного круга |w| < 1 так, что точка o из области переходит в 0. Обозначим отображение W(z, o). Эта функция переводит границу в границу единичного круга, а любую точку из внутренности D во внутренность единичного круга. Поэтому W(z, o) = (z-o)q(z, o), q(z,0) (~ A(D), q(z, o) != 0. Так как функция не обращается в 0 и аналитична, то Re ln q(z,o) = ln|q(z, o)| - гармоничная в D. Те ln|W(z, o)| = ln|z-o| + ln|q(z, o)|. Тогда (1/(2п))ln(1/|W(z, o)|) = (1/(2п))ln(1/|z-o|) + g(z, o), g(z,o) – гармоническая функция, а (1/(2п))ln(1/|W(z, o)|)|z(~dD = 0, потому что |W(z, o)||z(~dD= 1. Те а (1/(2п))ln(1/|W(z, o)|) – функция Грина. ЧТД.

Билет 31. Преобразование Лапласа и его основные свойства.

Пусть l – луч, arg z = h0, h(z) – функция интегрируемая на l. lim <Ainf, A (~l>$<0, A>h(z)dz если существует называется несобственным интегралом по l. Обозначается $<0, infe^(ih0)>h(z)dz. F(p) = $<0, infe^(h0)>h(z)e^(-zp)dz – интеграл (преобразование) Лапласа функции h(z). Будем рассматривать частный случай, когда l = R+. Введем класс функций для которых будем рассматривать преобразование Лапласа. f(t) (могут принимать комплексные значения). f(t) = 0, t < 0, f(t) (~ C(R+). Будем считать, что существуют константы M(f), a(f) |f(t)| <= M(f)e^(a(f)t) – оценка роста функции при стремлении tinf. Показатель степени роста inf a(f) = a0, те для любого положительного числа eps |f(t)| <= Mepse^(a0 + eps)t. Интеграл Лапласа – изображение функции, сама функция – оригинал. Соответствие обозначается = с точками сверху и снизу, здесь :=. Св-во1. Интеграл Лапласа сходится равномерно по p, в Re p >= a1 > a0. Док-во: |e^(-pt)f(t)| <= e^(-Re p t)|f(t)| <= Mepse^(-t[a1 – (a0 + eps)]). a0 + eps < a1, eps > 0. Эта функция – мажоранта, интеграл от неё сходится, (Вейерштрасс) значит сходится и требуемый интеграл, при этом |F(p)| <= Meps /(Re p – (a0+ eps))  lim<Re p  inf> F(p) = 0, те F(inf) = 0. Замечание: если функция f(t) имеет показатель степени роста a0, то (t^n)f(t) имеет тот же показатель степени роста, те $<0, inf)(e^(-pt))p(n)f(t)dt сходится равномерно в Re p >= a1 > a0. Т Пусть функция S(p, t) (~ A(D) по p, при фиксированном t (~ [0, inf), p (~ D, f(t) (~ C(R+), $<0, inf>S(p, t)f(t)dt, $<0, inf>S’p(p, t)f(t)dt, p (~ D существуютб причем последний интеграл сходится равномерно по p в D. Тогда $<0, inf>S(p, t)f(t) (~ A(D) и производная первого интеграла равна второму. Док-во: S(p, t) = u(x, y, t) + iv(x, y, t), p = x + iy. Так как функция аналитична – пишем Коши-Римана и в силу равномерной сходимости второго интеграла будут равномерно сходится интегралы от производных u, v. Те справедлива теорема о диф-ии под знаком интеграла. Преобразовав S’p(p, t) = u’x + iv’x получим ЧТД. Применив эту т к S(p, t) = e^(-pt) с учетом замечания получим, что F’(p) = $<0, inf>-te^(-pt)f(t)dt, F’(p) = -tf(t), F(p) (~ A(Rep > a0). Св-во2: F(p) имеет производную n-ого порядка Fn(p) :=(-t)^nf(t), F(p) (~ A(Re p > a0). Св-во3: Пусть f(t) имеет n производных с показателем роста a0, тогда f(n)(t) :=p^n[F(p) – f(0)/p – f’(0)/p^2 -…-f(n-1)(0)/p^n], Re p > a0. Док-во – по индукции. При 1. f’(t) := $<0, inf>e^(-pt)f’(t)dt = -f(0) + pF(p). Для n = k+1 дифференцируем и получаем. Св-во 4: F1(p) := f1(t), Re p > a1, F2(p) := f2(t), Re p > a2  a1F1(p) + a2F2(p) := a1f1(t) + a2f2(t), Re p > max(a1, a2), a1, a2 (~ C. Док-во из линейного св-ва интегралов. Св-во 5: Формула запаздывания. Пусть fc(t) = {0, t < c, c > 0; f(t – c), t >= c}. Тогда fc(t):=$<0, inf> e^(-pt)fc(t)dt = $<-c, inf>e^(u + c)f(u)du, u = t – c. Так как fc(0) = 0, t < 0, fc(t) := e^(-pc)$<0, inf>e^(-pu)f(u)du = e^(-pc)F(p). Св-во6: Формула смещения. e^(-lt)f(t) := F(p + l), Re (p+l) > a0. Очевидно почти. Св-во7: a > 0  f(at) := (1/a)F(p/a), Re(p/a) > a0. Просто замена переменных. Св-во8: Изображение свертки. q(t) = $<0, t> f1(c)f2(t-c)dc называется сверткой двух функций. Справедливо: q(t) = $<0, t> f1(t-c)f2(c)dc. Пусть F1(p) := f1(t), Re p > a1, F2(p) := f2(t), Re p > a2. Докажем, что q(t):=F1(p)F2(p), Re p > max(a1, a2). q(t) := $<0, inf> e^(-pt)[$<0, t> f1(c)f2(t-c)]dt расширяем внутренние пределы интегрирования, пользуясь тем, что f(t) = 0, t <0, меняем порядок интегрирования. Внутри получили формулу смещения, после чего ЧТД. Св-во9: изображение интеграла. f(t):= F(t), q(t)= $<0, t>f(c)dc := F(p)/p. Через св-во 3. Св-во10: интегрирование изображения. Пусть f(t):=F(p), тогда f(t)/t := $<p, inf>F(q)dq, если f(t)/t непрерывна в 0 (существует $<0, a>f(t)dt/t, a>0. Док-во: f(t)/t := F1(p), по св-ву2 F1’(p) = -<0, inf)e^(-pt)f(t)dt = -F(p)  F1(p) = -$<0, p>F(q)dq + C, F(inf) = 0. Тогда C = $<0, inf>F(q)dq, F2(p) = -$<0, p>F(q)dq + $<0, inf>F(q)dq = $<p, inf>F(q)dq.