Билет 23. Основные принципы конформных отображений: принцип соответствия границ и принцип симметрии Римана-Шварца.

Принцип соответствия границ. Пусть две области ограничены замкнутыми жордановыми кусочно-гладкими контурами, пусть функция, аналитичная внутри и непрерывная на замыкании первой области, отображает границу первой области взаимно-однозначно на вторую. Тогда эта функция конформно отображает первую область на вторую. Док-во: рассмотрим F1(z) = f(z) – w1, F2(z) = f(z) – w2, w1 (~ G, w2 !(~G_. Когда z пробегает границу D, f(z) – w1 обходит dG один раз в том же направлении и проварачивается на 2п. Аналогично второй вектор пройдет по тому же контуру, но приращение аргумента не будет. По принципу аргумента первая функция имеет внутри области 0, вторая не обращается. Те f(z) = w1 имеет одно рещение, f(z) = w2 не имеет. ЧТД. Принцип симметрии Римана-Шварца. Пусть D – область, j – часть действительной оси, входящая в границу области, D* - симметричное отражение D относительно j, D && D* = 0. Пусть f(z) = A(D) && C(j), f(j) принадлежит отрезку действительной оси. Тогда f(z) аналитически продолжаема в D* через j. F(z) = {f(z), z (~DUj, _f(_z), z (~ D*} (F(z) – аналитична на всех перечисленных мн-вах). Док-во: выбираем точку из первой области, у неё есть окрестность такая, что можно в ней разложить функцию в ряд Тейлора. Введем функцию ^f(z) = Add(n=0, inf)_an(z-_z0)^n. Ряд сходится в некоторой окрестности _z0, ^f(z) (~ A(Ueps(_z0)), в силу произвольности точки – аналитична во всей D*. ^f(_z) = _f(z). На вещественной оси Ox совпадение. Применим принцип непрерывности. ЧТД.

Билет 24. Свойство аналитической однолистной функции в области.

Непрерывное отображение f(z) является конформным отображением в точке z0, если оно сохраняет углы по величине и по направлению между любыми двумя гладкими кривыми, проходящими через эту точку. Угол между двумя кривыми на комплексной плоскости в точке их пересечения равен разности аргументов производных эти кривых (кривая задается комплексно-значной функцией параметра). Рассмотрим две кривые, лежащие в области определения f(z), пересекаются в точке z0, f’(z0) != 0, производные этих кривых в этой точке тоже пусть не равны 0. Тогда угол между их образами равен углу между исходными кривыми (при взятии перемножении аргументы складываются). Таким образом если функция имеет в области производную отличную от 0, то функция – конформное отображение. Утв Пусть функция аналитична в точке z0 и её производная f’(z0) != 0 в этой точке отлична от 0, тогда эта функция локально однолистна и некоторое открытое мн-во, содержащее точку z0, отображает на некоторую окрестность точки w0 = f(z0). Док-во: разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности, в которой она аналитична. a0 = f(z0), a1 = f’(z0) != 0. Рассмотрим ряд Тейлора без первого члена q(z). Из-за a1 != 0 значит есть некоторая окрестность точки в которой этот остаток ряда отличен от 0, кроме самой z0, причем этот 0 порядка 1. Пусть m – минимальное по модулю значение этого остатка ряда. Выберем 0 < |a| < m. По теореме Руше q(z) + a имеет столько же 0 в этой области, сколько q(z), те 1, причем не равный z0. Тогда f(z1) = w0 – a. Те мы показали, что для любого a, 0<|a|<m существует прообраз точки z1: f(z1) = w0 – a. Те |w – w0| < |m| имеет прообраз в окрестности |z-z0| < д. Отображение взаимно-однозначное. Из-за аналитичности – прообраз открытого мн-ва – открытое мн-во. ЧТД. Т Пусть функция аналитична в области, её производная в этой области всюду отлична от 0, тогда функция переводит обасть в область G = f(D) – образ. Взаимно-однозначность не сохранится. Под конформным отображением области на область будем понимать взаимно-однозначное непрерывное отображение, сохраняющее углы по величине и направлению. Т Меньшова (без док-ва) Если функция осуществляет конформное отображение одной области на другую, то она аналитична. Ну и если аналитична и однолистна, то производная не обращается в 0. Если однолистная аналитичная функция отображает одну область на другую конформно, то обратная к ней функция так же аналитична ( на 2ом мн-ве) и тоже дает конформное отображение на 1ую область.

Билет 25. Локальное свойство однолистной функции. Отображение области на область при конформном отображении.

Билет 26. Дробно-линейная функция и её свойства.

Скажем, что две кривые пересекаются в inf под углом a, если при преобразовании 1/z их образы пересекаются в 0 под тем же углом. Дробно-линейная функция – w(z) = (az+b)/(cz+d). Если ad-bc != 0 – отображение невырожденное (это условие на то, что производная отлична от 0). Св-во1: дробно-линейное невырожденное отображение конформно отображает замыкание комплексной плоскости на себя. 1) c = 0, тогда w(z) = az/d + b/d, z = (w-b/d)d/a те для любого w существует единственное z. (для бесконечности почти очевидно). 2) c != 0, z = (wd-b)/(a-wc), w != a/c, z != -d/c. В этих точках в бесконечность. Конформно почти очевидчно. ЧТД. Св-во2: Образы трех различных точек, при условии, что образы различны, единственным образом определяют дробно-линейное невырожденное преобразование. Расписываем (w – w1)/(w – w2) преобразуем к виду ad(z-z1)(cz2+d)/[ad(z-z2)(cz1+d)] подставляем z3, w3 получаем ангаромоническое (разделив (w-w1)/(w-w2) на (w3-w1)/(w3-w2)). В случае z3 = inf, тоже легко подставлять (отношение станет 1). Из соотношение получается однозначность отображения. ЧТД. Св-во3: При дробно-линейном невырожденном преобразовании прямые и окружности переходят либо в прямые либо в окружности. Уравнение прямой или окружности – A(x^2+y^2) + 2Bx + 2Cy + D = 0. Рассмотрим преобразование w(z) = 1/z, z = x + iy, подставляем, получаем Dw_w + (B – C/i)w + (B + C/i)_w + A = 0, те уравнение окружности или прямой. Общее преобразование можно представить как w(z) = a/c – (ad-bc)/(c(cz + d)), сдвиг, поворот и масштабирование не меняют св-ва. Св-во 4: Симметричные точки относительно прямой или окружности при дробно-линейном невырожденном преобразовании переходят в симметричные точки. Точки называются симметричными относительно окружности, если прямая или любая окружность, проходящая через эти точки, ортогональна этой окружности. В силу конформности отображения все углы будут сохранятся, те симметричность сохранится. Докажем корректность определения симметричности относительно окружности (что симметричная точка одна). Рассмотрим отображение z = a + R (1+iw)/(1-iw) a – центр окружности, R – её радиус. Такое отображение переводит окружность в действительную прямую, мы каждой точке можем построить симметричную и при обратном отображении они тоже перейдут в симметричные, те симметричная точка относительно окружности будет единственна. z0* = a + R^2/(_(z0 – a)).

Билет 27. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями.

w(z) = z^n не однолистная, но разбивается на области, где является однолистной. Область Dk = {z: 2п(k-1)/n < arg z < 2пk/n} переводит в плоскость, без R+. Область 0 < argz< п/n – в верхнюю полуплоскость. w(z) = e^z на всей плоскости тоже не однолистна. Dk = {z : 2п(k-1) < Imz < 2пk} – переводит во всю плоскость без R+, от 0 до п – в верхнюю полуплоскость. Образ прямой y = c w = e^x e^(ic) – луч из начала координат, x = c1  w = e^(c1 + iy) – окружность радуси e^c1. Те прямоугольник со сторонами, параллельно осям перейдет в область ограниченную двумя лучами и двумя окружностями.

Билет 28. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Случай круга и верхней полуплоскости.

Задача Дирихле: найти гармоническую функцию в области D, принимающую на границе dD заданные непрерывные значения h(w), w (~ dD или найти функцию u(x, y) {cu = 0, u(x,y) = u(z), z (~D; u|dD = h(w), w (~ dD, h(w) (~ C(dD)}. Для произвольной области задача не обязана быть решаема. Но для круга имеет решение. Найдем его. Сначала докажем, что если существованит функция u(x,y) = u(z), |z – a| <=R, то её можно восстановить по значению на границе круга. Обозначим w = a + Re^(io), o(~[0, 2п], z = a + re^(ip). f(z) – восстановленная по u(z) аналитическая функция. Пишем интегральную формулу Коши для f(z) (точка z из области) и вычитаем из неё интеграл типа Коши с центром разложения в z* (интегрирование по границе контура). Последний интеграл равен 0, в результате подстановок и преобразований получаем f(z) = (1/2(п))$<0, 2п>(R^2 – r^2)f(a + Re^(io)do/(R^2 + r^2 -2rRcos(p-o)). Интеграл справа – интеграл пуассона, а выражение (R^2 – r^2)/(R^2 + r^2 -2rRcos(p-o)) – ядро интеграла Пуассона. Таким образом действительная часть (u(r, p)) получается из замена в интеграле Пуассона f(a + Re^io) = u(R, o). Ядро положительно, интеграл ядра (функция под интегралом пуассона – 1) – 1. Ядро Пуассона = Re[(Re^(io) + z – a)/(Re^(io) – (z – a)) – аналитичная функция, те ядро Пуассона – гармоническая функция (по r, p). Переходим к задаче Дирихле (второе условие в условии задачи – предел при стремлении r  R, p  o равен h(R, o)). Из вида интеграла Пуассона приходит соображение о том, что функцию надо искать в виде интеграла пуассона от h(R, o), те u(r, p) = (1/(2п))$<0, 2п>(R^2 – r^2)h(R, o)do/(R^2 + r^2 – 2rRcos(p-o)). Те надо доказать, что u(r, p) – гармонична и lim <rR po>u(r, p) = h(R, o). Док-во: так как подынтегральная функция хорошая (дважды непрерывно-дифференцируемая по каждому из аргументов) оператор Лапласа и интеграл можно менять местами, сu = d^2u/dr^2 + du/rdr + du^2/r^2dp^2. h(R, p) – константа, значит оператор равен 0 (из гармоничности ядра). Осталось доказать про предел. Записываем разность h(R, o0) – u(r, o): из св-ва того, что интеграл ядра равен 2п можно занести h(R, p0) под интеграл. Получившийся интеграл разбиваем на два – в окрестности p0 и везде далее (окрестность достаточно маленькая, чтобы |h(R, o0) – h(R, o)| < eps /2) 1ый оцениваем из соображений об ограничении на разность h, второй из соображения того, что косинус в знаменателе строго отличен от 1, те не обращается в 0, а числитель стремится к 0. ЧТД. Т Пусть u(x, y) = u(z) гармоническая функция в односвязной области D и функция w = f(z) конформно отображает область D в G; тогда функция u[f^-1(w)] – гармоническая функция в области G (конформное отображение областей сохраняет такое свойство функций, как гармоничность). Док-во: достраиваем аналитическую функцию Ф в первой области, f(z) – конформное отображение, то обратная к ней аналитична в G. Поэтому их суперпозиция аналитична, а вещественная часть Ф = u, те гармоническая функция. ЧТД. Выберем такое отображение верхней полуплоскости, которое переведет верхнюю полуплоскость во внутренность единичного круга, например z0 = x0 + iy0, w(z) = (z – z0)/(z-_z0). При этом функция a(x) (аналогия h(x)) перейдет в непрерывную h(o). Для круга построим функцию u~(r, p) = (1/2п) $<0, 2п>(1-r^2)h(o)do/(1 + r^2 – 2rcos(p – o)), 0 <= r < 1. Сделав обратное преобразование на действительную прямую w = e^(io) = (x-z0)/(x-_z0), de^(io) = ie^(io)do = (x- _z0 - (x-z0))dx/(x-_z0)^2. do = (1/i)((x-z0)/(x-_z0))((z0-_z0)/(z-_z0)^2)dx = 2y0dx/((x-x0)^2 + y0^2). Раз гармоничность при конформном отображении сохраняется, получаем u(x0, y0) = (y0/п)$<-inf, inf>a(x)dx/((x-x0)^2 + y0^2).