Определение
Множество всех х при которых функ. ряд (1) сх-ся (т.е. получаются сх-ся числ. ряды) наз-ся областью сходимости функ. ряда.
Определение
Если по любому заданному >0 можно указать n, т.ч. при всех n> n сразу для всех хЕ выполняется неравенство |Sn(x)-S(x)|<: (>0)( n):(n> n)(хЕ)[|Sn(x)-S(x)|= |rn(x)|<].
Геометрически: в случае сх-ти при n> n все графики у=Sn(x) целиком попадут в заданную полосу между графиками. В случае наравн. сх-ти какой бы n ни взять при n> n не удаётся заключить весь график у=Sn(x) в заданную полосу: всегда найдётся точка х Е т.ч. точка с координатами (х, Sn(x)) остаётся вне полосы.
Теор об остатке равном. сх-ся ряда.
Функ. ряд (1) сходящийся на множестве Е (т.е. сх-ся поточно) равном. сх-ся на Е lim |rn(x)| =0. Ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим >0, по Опр. ( n0):(n> n0)(хЕ)[|rn(x)|<]. Это означает, что 1 является верхней границей мн-ва {|rn(x)|: xE}, а т.к. sup – наим. Из верхних границ, то sup{|rn(x)|: xE}1, т.е. |rn(x)|1 |rn(x)|=0. lim |rn(x)|=0. Зададим >0. По условию ( n):(n> n)[ |rn(x)|<(хЕ)[|rn(x)|<]] (>0)( n):(n> n)(хЕ)[|rn(x)|<](опр 5.2.) ряд(1)сх-ся равномерно на Е.
Теор Критерий Коши равномерной сходимости функ. ряда.
Функ. ряд (1) сх-ся на мн.Е равномерно (>0)(n):(m>n>n)(xE)[| uk(x)|<]
Пусть ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим >0 и положим 1=/2, для него по Опр 5.2. ( n): (n> n)(хЕ)[|Sn(x)-S(x)|<1]. (m>n>n)(хЕ)[|Sn(x)-S(x)|<1]. Поэтому | uk(x)|= |Sm(x)-Sn(x)|= |(Sm(x)-S(x))+(S(x)-Sn(x))| |Sm(x)-S(x)|+|S(x)-Sn(x)|< 1+1=.
Пусть выполнен критерий Коши. При конкр. хЕ это означает выполнение кр. Коши для числового ряда, значит ч.р. un(x), хЕ сх-ся к некот. числу S(x). Это означает, что ф.р. (1) поточеч. сх-ся к некот. сумме S(x). Осталось пок-ть, что это сх-ть равномерная. Зададим >0 и возьмём 0<1<, для него запишем кр. Коши: ( n0): ( m>n>n0) (хЕ)[ | uk(x)|= |Sm(x)-Sn(x)|<1]. Зафиксируем здесь n0 и х. И рассмотрим (при этом всегда ост-ся m>n и потому |Sm(x)-Sn(x)|<1 сохр. во всём процессе стремления m к ). В пределе получим ( n0): ( m>n>n0) (хЕ)[ |Sm(x)-Sn(x)|1], но |Sm(x)-Sn(x)|=| Sm(x) -
lim(n+)Sn(x)|=(*Sn(x)=const*)= |S(x)-Sn(x)|1 |Sn(x)-S(x)|<. Подчёркнутое означает, по Опр.5.2., что ряд (1) сх-ся равномерно на множестве Е. Из кр. Коши получается след. дост. признак равномерной сх-ти.
Теор Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.
Если существует полож, числовой, сх-ся ряд an (4), т.ч. (n)(хЕ) [|uk(x)|an] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.
|uk(x)|an при всех хЕ следует, согл. признаку сравнения сх-ся |un(x)| un(x) сх-ся абсолютно на множестве Е. Для ряда (4) выполнен крит. Коши: (>0)(n):(m>n>n)
[| |<], но
Опр. Функ. ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. По док-му ряд, мажорируемый на Е сх-ся абс-но и равномерно на мн-ве Е.
Свойства равномерно сх-ся рядов.
Известно, что конеч. сумма непрер-х функций, есть непр-я функ-я. Такую сумму можно почленно инт-ть, конеч. сумму диф-ть.
Для суммы функ. ряда это не так, например члены ряда x+(x2-x)+…+(xn-xn-1)+… непрер-ны на Е=[0,1], а сумма ряда S(x)={0, x[0,1[ и 1,x=1 разрывна в т. х=1.
Теор о непрерывности суммы ряда.
Если все члены un(x) функ. ряда u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(1) непрерывны на Е и ряд сх-ся равном. на Е, то S(x) непрер-на на Е.Надо пок-ть, что(х0Е) [S(x)c{x0}(>0)(>0): (xE,|x-x0|<)[S(x)-S(x0)<]]. Зададим >0 и положим 1=/3. Ввиду равном. сх-ти ряда для 1: ( n0):( n>n0) (хЕ)[|Sn(x)-S(x)|<1] (2). В частности |Sn(x0)-S(x)|<1 (3). Зафиксируем один номер n>n0 и рассм. функ-ю Sn(x)= u1(x)+…+un(x). Как конеч. сумма непр-х ф-ий она непр-на на Е. В частности Sn(x)c{x0}. Значит (>0):(xE,|x-x0|<)[Sn(x)-Sn(x0)<1] (4). Теперь из 2,4,3 получим |S(x)-S(x0)|=| (S(x)-Sn(x))+ (Sn(x)-Sn(x0))+( Sn(x0)-S(x0))| |Sn(x)-S(x)|+|Sn(x)-Sn(x0)|+|Sn(x0)-S(x0)|1+1+1=
Теор об интегрировании ряда.
Если все члены un(x) функ. ряда (1) непрер-ы на [a,b] и ряд сх-ся на [a,b] равномерно, то его можно почленно инт-ть по любому отрезку [x1,x2][a,b]. S(x)dx= un(x)dx= un(x)dx (ряд полученный почленным инт-ем ряда (1) сх-ся и его сумма = интегралу от суммы ряда (1) или интеграл от суммы ряда = сумме ряда).
Т.к. все un(x)[a,b], то существует un(x)dx=аn (числа); ввиду равном. сх-ти ряда по Теор.6.1. сумма ряда S(x)[a,b] сущ-ет S(x)dx= (число) и ост. док-ть, что числ. ряд = un(x)dx сх-ся к , т.е. lim ak=. Зададим >0 и положим 1=/(х2-х1)>0. Ввиду равном. сх-ти ряда (1) (n0):( n>n0) (х[a,b])[|Sn(x)-S(x)|<1] (х[x1,x2])[|Sn(x)-S(x)|<1]. | ak-|= | uk(x)dx - S(x)dx| = (*для конеч. суммы * =| ( uk(x) – S(x))dx| =| (Sn(x)-S(x))dx| |Sn(x)-S(x)|dx< 1dx= 1(x2-x1)=. Т.о. (>0)(n0):( n>n0)[ | ak-|<] lim ak=
Теор о дифференцируемости ряда.
Если все члены un(x) ф.р. (1) сходящиеся на [a,b] (необяз. равном.) непрер. диф-мы на [a,b] (un(x)c[a,b]), а ряд из производных: u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(5) равномерно сх-ся на [a,b], то ряд (1) можно почленно дифф-ть в любой т.х[a,b]: S(x)=( un(x))= un(x) (производная суммы ряда равна сумме производных). По условию ряд (5) равном. сх-ся на [a,b] к некот. сумме (х): un(x)= (х) и по Теор.6.2. (*благодаря непрерывности un(x) на [a,b]*) ряд (5) можно почленно инт-ть по отрезку [a,x] где х любая точка из [a,b]: (t)dt= un(t)dt, здесь
un(t)dt = un(t) = un(х)- un(а). Поэт. (t)dt= (un(х)- un(а)). Поскольку un(х) сх-ся к S(x) по условию, в частности un(а) сх-ся к S(a), по Теор Олин-х опер-ях с рядами 1.10. (un(х)- un(а))= un(х) - un(а) = S(x)-S(a), а след-но (t)dt= S(x)-S(a). По Теор 6.1. сумма (х) ряда (5) с непрерывными членами равномерно сх-ся на [a,b] непрер-на на [a,b]. Поэт. можно применить Т. о диф-ии инт-ла с перем. верх. пределом: ( (t)dt)х=(х), значит (х)= S(x) - 0 S(x)= (х)= un(х)
Теор об ограниченном множителе.
Если все члены ряда (1) равном. сх-ся на Е умножить на ф-ию ограниченную на Е, то равном. сх-ть ряда (1) на Е сохр-ся.
Пусть(хЕ)[|f(x)}M]. Рассм. ряд f(x)u1(x)+f(x)u2(x)+.. …+f(x)un(x)+…(6). Для равном. сх-ся ряда (1) вып-ся кр. Коши: (>0)(n):(m>n>n)(xE)[| uk(x)|<].
Тогда(xE)[ | f(x)uk(x)|=|f(x)|| uk(x)|M| uk(x)|<M(/M)=]. Поэт. для ряда (6) ок-ся выполненым кр-ий Коши:(>0)(n):(m>n>n)(xE)[| f(x)uk(x)|<] и потому он сх-ся равном. на Е.
Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.
C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+...+Cn(x-a)n+...== Cn(x-a)n (1), где Сn и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой =х-а такой ряд приводится к виду (вместо пишем х):
С0+С1х+С2х2+...+Сnхn+...= Сnхn (2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.
Т-ма Абеля
Если степенной ряд (2) сходится в точке х00, то он абсолютно сходится при х<х0, т.е. на ]-x0,x0[; если он расходится в точке х0 0, то расходится при х<x0, т.е. на ]-,-x0[ и ]x0,+[.
Если сходится , то lim и сходящаяся последовательность { } ограничена: (n)[ M](n)[|Cn| M/|x0n|. Если |x|<|x0|, то =Cn|x|n M/|x0n||x|n= M(|x|/|x0|)n= Mqn, где q=|x|/|x0|<1. Из сходимости геометрического ряда Mqn (q<1) по признаку сравнения следует сход-ть Сnxn, т.е. абсолютная сход-ть ряда (2) при рассматриваемом х<x0. Eсли ряд (2) расходится в точке х00, то при х>x0 он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке х0 при х>x0 ряд (2) расходится
Т-ма о радиусе сходимости
Для каждого степенного ряда (2)сущ-ет неотрицательное число R такое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на ]-,-R[ u ]R,+[) расходится.
Если (2) ходится в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х=0 ряд (2) сходится абсолютно: Сn0n=C0). Пусть сущ-ют 0, в которых ряд сходится, назовем их точками сход-ти. Мн-во модулей точек сход-ти обозначим Х={ }, и пусть R=Sup X. Т.к. имеются точки 0, т.е. >0, то Sup X>0, т.е. R>0. Пусть х<R, тогда х меньшее чем Sup X не может быть верхней границей мн-ва Х и потому найдется Х такой, что >x. Из сход-ти (2) в точке по т-ме Абеля следует абсолютная сход-ть ряда в точке х. Таким образом ряд (2) абсолютно сходится на ]-R,R[. В частности если R=+, то на ]-,+[. Пусть R<+, т.е. R-конечное число, тогда если х>R, то х не может быть точкой сход-ти, т.к. для всех точек сход-ти имеем Sup X=R при х>R, т.е. при х]-,-R[ u ]R,+[ ряд расходится.
Число R наз-ся радиусом сход-ти степенного ряда (2), ]-R,R[ -интервалом сходимости.
Замечание1.
Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[.
Если для Сnn ]-R,R[ -R< <R, т.е. -R<x-a<R a-R< x <a+R
Замечание2.
На концах интервала х=R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абсолютно) и расходится, поэтому область сход-ти степенного ряда с точностью до граничных точек совпадает с интервалом сходимоси чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2), то он совпадает с интервалом сход-ти ряда из модулей Cnxn, т.к. внутри интервала сходимости ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд Cnxn, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Таким образом дело сводится к нахождению интервала сход-ти положительного ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.
Свойства степенных рядов.
Т-ма о равномерной сход-ти степенного ряда.
anxn = a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1). Степенной ряд (1) сходится равномерно в каждом замкнутом промежутке, расположенным внутри области сход-ти степеного ряда (1).
Считаем, что R>0. Если промежуток (-R*,R*) замкнутый и целиком лежащий в интервале ]-R,R[, то обязательно найдется - и , расположенные соответственно в ]-R,R*[ и ]R*,R[ . Eсли an - cходится, тоan M . Обозначим =q < 1. Мы получим ряд из членов убывающей геометрической прогрессии. Воспользуемся признаком Вейерштрасса M· сходится ряд равномерно на [-R*,+R*]
Одна из формул определения радиуса сход-ти R степенного ряда (основанная на признаке Даламбера):
- сходится. (сходится ) х<R; x>R - расходится
Замечание: В общем случае этот предел может не существовать.
8.2. Т-ма
Внутри интервала сход-ти сумма ряда (1) - непрерывная функция.
Т.к. члены степенного ряда (1) непрерывные функции, то согласно т-ме о непрерывности суммы ряда, ряд (1) явл-ся непрерывной функцией
Т-ма об интегрируемости степенного ряда:
Пусть [x0,x1](-R,R), тогда
1) (2)
2) Радиус сход-ти ряда (2), полученного после интегрирования равен радиусу сход-ти исходного ряда (1).
Пусть (2*). Найдем радиус сход-ти ряда (2*).
Т-ма о дифференцируемости степенного ряда:
Внутри интервала сход-ти сумма степенного ряда S(x) - дифференцируемая функция, ряд можно почленно дифференцировать.
2) Радиус сход-ти степенного ряда, полученного после дифференцирования, равен радиусу исходного ряда.
1) Согласно предыдущей т-ме ряд сходится равномерно, члены дифференцируемы и по т-ме о дифференцируемости ряда ряд (1) можно дифференцировать почленно.
Рассмотрим ряд вида (S(x))’= ( anxn)=a1+2a2x+3a3x2+...+nanxn-1+..
Найдем радиус сход-ти этого ряда
Формула Тейлора. Т-ма
Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)- го порядка включительно в некоторой окрестности точки х=а, тогда имеет место формула Тейлора:
. Rn(x) - остаточный член, который может быть представлен в виде: (2) - форма Лагранжа, где -расположена между точками х и а. Другой вид:
Построим вспомогательную функцию (3)
тогда (а)=f(x)(x)=f(x)+f `(x)(x-x)+..=f(x) (a)=f(x) и (x)=f(x). Тогда по т-ме Ролля найдется точка в которой ’()=0. получим (2)
Замечания: 1) сущ-ют и другие представления Rn;
=a+(x-a), 1.
Ряды Тейлора и Макларена.
; f(x)=Sn(x)+Rn(x) (6); f(x)-Sn(x)=Rn(x) (6). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f(n)(x) в точке x=а и её окрестности. Получим: lim (f(x)-Sn(x))=lim Rn(x)=0 (7) . Если lim Rn(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim Sn(x) (8) (9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Макларена:
.
Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если Rn(x)0.
Пример неразложимости функции в ряд Тейлора.
. Т.к. =0, то функция f(x) непрерывная
Обозначим . По правилу Лопиталя
Аналогичным образом устанавливается, что функция f(x) имеет бесконечно большое число производных и все они непрерывны на всей оси, включая точку х=0 и в точке х=0 обращаются в нуль.
n=0,1,2... Sn(x)=0. f(x)=Sn(x)+Rn(x)Rn(x) Rn(x)- не стремится к нулю, то ряда Тейлора для этой функции не сущ-ет.
Т-ма о представимости степенных рядов рядом Тейлора.
Если функция f(x) представима степенным рядом f(x)= an(x-a)n,
то этот степенной ряд явл-ся рядом Тейлора : f(x)= (x-a)n, т.е. an= (11). И такое разложение единственно и коэфициенты нах-ся по формуле (11).
f `(x)= nan(x-a)n-1, f ``(x)= (n-1)nan(x-a)n-2,..., f(i)(x)= (n-i+1)(n-i+2)...nan(x-a)n-i ,
f(n)(a)=n!an (11). Докажем единственность: предположим противное и пройдя всю цепочку рассуждений получим все коэфициенты, которые определяются по формуле (11).
Т-ма (достаточный признак сход-ти степенного ряда к функции f или представимости в виде ряда Тейлора).
Пусть f(n)(x)C=const n=0,1,1... в некоторой замкнутой окрестности точки аХ, тогда функция f представима степенным рядом Тейлора.
Имеем Rn(x) (x-a)n+10 при n. Применяя признак Даламбера получаем, что ряд
(х-а)n+1 сходится
Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.
5.f(x)=cosx, f(0)=1,
(cosx)`=-sinx(0)=0,
(cosx)``(0)=(-cosx)(0)= -1
(cosx)```(0)=sinx(0)=0
(cosx)````(0)=cosx(0)=1,...
Т.к. cosx-четная функция, то сохраняются только четные степени. . Т.к. sin и cos по модулю 1, то
Остаточный член оценивается точно так же как cos. Указанные ряды можно использовать лишь в окрестности точки х=0, при удалении от х=0 апроксимация будет резко ухудшаться.
7.f(x)=ln(1+x)
ln(1+x)=
ln(1+x)
8.f(x)=arctgx
9. Биномиальное разложение.
f(x)=(1+x), -любое действительное число.
f(0)=1; f `(0)=(1+x)-1=;
f ``(0)=(-1)(1+x)-2=(-1);
f ```(0)=(-1)(-2)(1+x)-3=
=(-1)(-2) ;...;
f(n)(0)=(-n+1)(1+x)-n=(-n+1).
Определяем остаточный член: в точке х=0 S(x)=1 и f(x)=1
C=1.
Ряды Фурье.
Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].
Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:
(х), (х) интегрируемые при х[a,b], тогда (*) - cкалярное произведение.
для (*) вып-ся аксиомы ск-го произведения:
А.1 (,)=(,)
А.2 (,)=(,)=(,), =const
А.3 (,1+2)=(,1)+(,2)
Определение: Функции и на [a,b] ортогональны если (,)=0, т.е. (х)(х)dx=0.
Определение. Понятие нормированности: = - норма (длина вектора).
Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:
=[ 2(x)dx]0.5
A.1 0, =0 0
A.2 =, R1
A.3 1+2=1+2
Определения: Если для системы функций 1,2,...,n введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если
; ОН
Пример: при x[-,]
{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,
cosnx,sinnx}.
. Аналогично sin(nx)sin(mx)dx=0; sin(nx)cos(mx)dx=0. Найдем норму: cosnx=
. Аналогично sin(nx)= .Получаем ОН систему:
Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.
{1(x),2(x),...,n(x)} - ОН система, т.е. . f(x)= fnn(x) - ряд Фурье, где fn - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения на m(x) и проинтегрируем:
f(x)m(x)dx== m(x) fnn(x)dx= fn m(x)n(x)dx=0 - когда mn. Когда m=n:
=fn(n,n)=fn= f(x)n(x)dx f(x) (f,n)n(x)
Ряд Фурье для тригонометрических функций.
, f(x) (ancos(nx)+bnsin(nx)) (4)
где an= f(x)cos(nx)dx, bn= f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...
Определение: Функция наз-ся кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.
Т-ма Дирихле: Пусть f(x)
1)определена для всех х[-,]
2)кусочно-непрерывная на [-,]
3)кусочно-монотонная на [-,]
4)ограничена на [-,], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка х[-,] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда
S(x)= (ancos(nx)+bnsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=1/2 [f(x-0)+f(x+0)]
S(-)=S()=1/2 [f(+0)+f(-0)]
Замечания: 1)поведение функции f за пределами [-,] может в корне отличаться от значения S.
2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то соглас- но (4) мы должны продол- жить пе- риодическим образом с периодом 2.
Пример: f(x)=x, x[-,]
a0= xdx=0
Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке
y[a,b] (a,b < ,a < b)
x=y+; [-,] переходит в [a,b].
, m, f(y+)=f*(y); dx=dy, an= f*(y)cosn(y+)dy
bn= f*(y)sinn(y+)dy, f*(y)= + (ancosn(y+)+bnsinn(y+))
Разложив cos и sin по формулам:
f*(y)= + (a*ncosny+b*nsinny), где нужно вычислить a*n , b*n и a*0 .
Примеры: 1) a=0, b=L >0
x=
a= - L, b= L
x=