Определение

Множество всех х при которых функ. ряд (1) сх-ся (т.е. получаются сх-ся числ. ряды) наз-ся областью сходимости функ. ряда.

Определение

Если по любому заданному >0 можно указать n_, т.ч. при всех n> n_ сразу для всех хЕ выполняется неравенство |S_n(x)-S(x)|<: (>0)( n_):(n> n_)(хЕ)[|S_n(x)-S(x)|= |r_n(x)|<].

Геометрически: в случае сх-ти при n> n_ все графики у=Sn(x) целиком попадут в заданную полосу между графиками. В случае наравн. сх-ти какой бы n_ ни взять при n> n_ не удаётся заключить весь график у=Sn(x) в заданную полосу: всегда найдётся точка х Е т.ч. точка с координатами (х, Sn(x)) остаётся вне полосы.

Теор об остатке равном. сх-ся ряда.

Функ. ряд (1) сходящийся на множестве Е (т.е. сх-ся поточно) равном. сх-ся на Е lim |r_n(x)| =0. Ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим >0, по Опр. ( n₀):(n> n₀)(хЕ)[|r_n(x)|<]. Это означает, что ₁ является верхней границей мн-ва {|r_n(x)|: xE}, а т.к. sup – наим. Из верхних границ, то sup{|r_n(x)|: xE}₁, т.е. |r_n(x)|₁ |r_n(x)|=0. lim |r_n(x)|=0. Зададим >0. По условию ( n_):(n> n_)[ |r_n(x)|<(хЕ)[|r_n(x)|<]] (>0)( n_):(n> n_)(хЕ)[|r_n(x)|<](опр 5.2.) ряд(1)сх-ся равномерно на Е.

Теор Критерий Коши равномерной сходимости функ. ряда.

Функ. ряд (1) сх-ся на мн.Е равномерно  (>0)(n_):(m>n>n_)(xE)[| u_k(x)|<]

Пусть ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим >0 и положим ₁=/2, для него по Опр 5.2. ( n_): (n> n_)(хЕ)[|S_n(x)-S(x)|<₁]. (m>n>n_)(хЕ)[|S_n(x)-S(x)|<₁]. Поэтому | u_k(x)|= |S_m(x)-S_n(x)|= |(S_m(x)-S(x))+(S(x)-S_n(x))| |S_m(x)-S(x)|+|S(x)-S_n(x)|< ₁₊₁=.

 Пусть выполнен критерий Коши. При конкр. хЕ это означает выполнение кр. Коши для числового ряда, значит ч.р. u_n(x), хЕ сх-ся к некот. числу S(x). Это означает, что ф.р. (1) поточеч. сх-ся к некот. сумме S(x). Осталось пок-ть, что это сх-ть равномерная. Зададим >0 и возьмём 0<₁<, для него запишем кр. Коши: ( n₀): ( m>n>n₀) (хЕ)[ | u_k(x)|= |S_m(x)-S_n(x)|<₁]. Зафиксируем здесь n₀ и х. И рассмотрим (при этом всегда ост-ся m>n и потому |S_m(x)-S_n(x)|<₁ сохр. во всём процессе стремления m к ). В пределе получим ( n₀): ( m>n>n₀) (хЕ)[ |S_m(x)-S_n(x)|₁]_, но |S_m(x)-S_n(x)|=| S_m(x) -

lim(n+)S_n(x)|=(*Sn(x)=const*)= |S(x)-Sn(x)|₁ |Sn(x)-S(x)|<. Подчёркнутое означает, по Опр.5.2., что ряд (1) сх-ся равномерно на множестве Е. Из кр. Коши получается след. дост. признак равномерной сх-ти.

Теор Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.

Если существует полож, числовой, сх-ся ряд a_n (4), т.ч. (n)(хЕ) [|u_k(x)|a_n] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.

 |u_k(x)|a_n при всех хЕ следует, согл. признаку сравнения сх-ся |u_n(x)| u_n(x) сх-ся абсолютно на множестве Е. Для ряда (4) выполнен крит. Коши: (>0)(n_):(m>n>n_)

[| |<], но

Опр. Функ. ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. По док-му ряд, мажорируемый на Е сх-ся абс-но и равномерно на мн-ве Е.

Свойства равномерно сх-ся рядов.

Известно, что конеч. сумма непрер-х функций, есть непр-я функ-я. Такую сумму можно почленно инт-ть, конеч. сумму диф-ть.

Для суммы функ. ряда это не так, например члены ряда x+(x²-x)+…+(xⁿ-x^n-1)+… непрер-ны на Е=[0,1], а сумма ряда S(x)={0, x[0,1[ и 1,x=1 разрывна в т. х=1.

Теор о непрерывности суммы ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…(1) непрерывны на Е и ряд сх-ся равном. на Е, то S(x) непрер-на на Е.Надо пок-ть, что(х₀Е) [S(x)c{x₀}(>0)(>0): (xE,|x-x₀|<)[S(x)-S(x₀)<]]. Зададим >0 и положим ₁=/3. Ввиду равном. сх-ти ряда для ₁: ( n₀):( n>n₀) (хЕ)[|S_n(x)-S(x)|<₁] (2). В частности |S_n(x₀)-S(x)|<₁ (3). Зафиксируем один номер n>n₀ и рассм. функ-ю Sn(x)= u₁(x)+…+u_n(x). Как конеч. сумма непр-х ф-ий она непр-на на Е. В частности Sn(x)c{x₀}. Значит (>0):(xE,|x-x₀|<)[S_n(x)-S_n(x₀)<₁] (4). Теперь из 2,4,3 получим |S(x)-S(x₀)|=| (S(x)-S_n(x))+ (S_n(x)-S_n(x₀))+( S_n(x₀)-S(x₀))| |S_n(x)-S(x)|+|S_n(x)-S_n(x₀)|+|S_n(x₀)-S(x₀)|₁+₁+₁=

Теор об интегрировании ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда (1) непрер-ы на [a,b] и ряд сх-ся на [a,b] равномерно, то его можно почленно инт-ть по любому отрезку [x₁,x₂][a,b]. S(x)dx= u_n(x)dx= u_n(x)dx (ряд полученный почленным инт-ем ряда (1) сх-ся и его сумма = интегралу от суммы ряда (1) или интеграл от суммы ряда = сумме ряда).

Т.к. все u_n(x)[a,b], то существует u_n(x)dx=а_n (числа); ввиду равном. сх-ти ряда по Теор.6.1. сумма ряда S(x)[a,b] сущ-ет S(x)dx= (число) и ост. док-ть, что числ. ряд = u_n(x)dx сх-ся к , т.е. lim a_k=. Зададим >0 и положим ₁=/(х₂-х₁)>0. Ввиду равном. сх-ти ряда (1) (n₀):( n>n₀) (х[a,b])[|S_n(x)-S(x)|<₁] (х[x₁,x₂])[|S_n(x)-S(x)|<₁]. | a_k-|= | u_k(x)dx - S(x)dx| = (*для конеч. суммы * =| ( u_k(x) – S(x))dx| =| (S_n(x)-S(x))dx| |S_n(x)-S(x)|dx< ₁dx= ₁(x₂-x₁)=. Т.о. (>0)(n₀):( n>n₀)[ | a_k-|<] lim a_k= 

Теор о дифференцируемости ряда.

Если все члены u_n(x) ф.р. (1) сходящиеся на [a,b] (необяз. равном.) непрер. диф-мы на [a,b] (u_n(x)c[a,b]), а ряд из производных: u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…(5) равномерно сх-ся на [a,b], то ряд (1) можно почленно дифф-ть в любой т.х[a,b]: S(x)=( u_n(x))= u_n(x) (производная суммы ряда равна сумме производных). По условию ряд (5) равном. сх-ся на [a,b] к некот. сумме (х): u_n(x)= (х) и по Теор.6.2. (*благодаря непрерывности u_n(x) на [a,b]*) ряд (5) можно почленно инт-ть по отрезку [a,x] где х любая точка из [a,b]: (t)dt= u_n(t)dt, здесь

u_n(t)dt = u_n(t) = u_n(х)- u_n(а). Поэт. (t)dt= (u_n(х)- u_n(а)). Поскольку u_n(х) сх-ся к S(x) по условию, в частности u_n(а) сх-ся к S(a), по Теор Олин-х опер-ях с рядами 1.10. (u_n(х)- u_n(а))= u_n(х) - u_n(а) = S(x)-S(a), а след-но (t)dt= S(x)-S(a). По Теор 6.1. сумма (х) ряда (5) с непрерывными членами равномерно сх-ся на [a,b] непрер-на на [a,b]. Поэт. можно применить Т. о диф-ии инт-ла с перем. верх. пределом: ( (t)dt)_х=(х), значит (х)= S(x) - 0 S(x)= (х)= u_n(х)

Теор об ограниченном множителе.

Если все члены ряда (1) равном. сх-ся на Е умножить на ф-ию ограниченную на Е, то равном. сх-ть ряда (1) на Е сохр-ся.

Пусть(хЕ)[|f(x)}M]. Рассм. ряд f(x)u₁(x)+f(x)u₂(x)+.. …+f(x)u_n(x)+…(6). Для равном. сх-ся ряда (1) вып-ся кр. Коши: (>0)(n_):(m>n>n_)(xE)[| u_k(x)|<].

Тогда(xE)[ | f(x)u_k(x)|=|f(x)|| u_k(x)|M| u_k(x)|<M(/M)=]. Поэт. для ряда (6) ок-ся выполненым кр-ий Коши:(>0)(n_):(m>n>n_)(xE)[| f(x)u_k(x)|<] и потому он сх-ся равном. на Е.

Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.

C₀+C₁(x-a)+C₂(x-a)²+...+C_n(x-a)ⁿ+...== C_n(x-a)ⁿ (1), где С_n и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой =х-а такой ряд приводится к виду (вместо  пишем х):

С₀+С₁х+С₂х²+...+С_nхⁿ+...= С_nхⁿ (2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.

Т-ма Абеля

Если степенной ряд (2) сходится в точке х₀0, то он абсолютно сходится при х<х₀, т.е. на ]-x₀,x₀[; если он расходится в точке х₀ 0, то расходится при х<x₀, т.е. на ]-,-x₀[ и ]x₀,+[.

Если сходится , то lim и сходящаяся последовательность { } ограничена: (n)[ M](n)[|C_n| M/|x₀ⁿ|. Если |x|<|x₀|, то  =C_n|x|ⁿ M/|x₀ⁿ||x|ⁿ= M(|x|/|x₀|)ⁿ= Mqⁿ, где q=|x|/|x₀|<1. Из сходимости геометрического ряда Mqⁿ (q<1) по признаку сравнения следует сход-ть С_nxⁿ, т.е. абсолютная сход-ть ряда (2) при рассматриваемом х<x₀. Eсли ряд (2) расходится в точке х₀0, то при х>x₀ он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке х₀ при х>x₀ ряд (2) расходится

Т-ма о радиусе сходимости

Для каждого степенного ряда (2)сущ-ет неотрицательное число R такое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на ]-,-R[ u ]R,+[) расходится.

Если (2) ходится в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х=0 ряд (2) сходится абсолютно: С_n0ⁿ=C₀). Пусть сущ-ют 0, в которых ряд сходится, назовем их точками сход-ти. Мн-во модулей точек сход-ти обозначим Х={ }, и пусть R=Sup X. Т.к. имеются точки 0, т.е.  >0, то Sup X>0, т.е. R>0. Пусть х<R, тогда х меньшее чем Sup X не может быть верхней границей мн-ва Х и потому найдется  Х такой, что  >x. Из сход-ти (2) в точке по т-ме Абеля следует абсолютная сход-ть ряда в точке х. Таким образом ряд (2) абсолютно сходится на ]-R,R[. В частности если R=+, то на ]-,+[. Пусть R<+, т.е. R-конечное число, тогда если х>R, то х не может быть точкой сход-ти, т.к. для всех точек сход-ти имеем   Sup X=R  при х>R, т.е. при х]-,-R[ u ]R,+[ ряд расходится.

Число R наз-ся радиусом сход-ти степенного ряда (2), ]-R,R[ -интервалом сходимости.

Замечание1.

Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[.

Если для С_nⁿ ]-R,R[  -R<  <R, т.е. -R<x-a<R  a-R< x <a+R

Замечание2.

На концах интервала х=R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абсолютно) и расходится, поэтому область сход-ти степенного ряда с точностью до граничных точек совпадает с интервалом сходимоси  чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2), то он совпадает с интервалом сход-ти ряда из модулей C_nxⁿ, т.к. внутри интервала сходимости ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд C_nxⁿ, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Таким образом дело сводится к нахождению интервала сход-ти положительного ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.

Свойства степенных рядов.

Т-ма о равномерной сход-ти степенного ряда.

a_nxⁿ = a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (1). Степенной ряд (1) сходится равномерно в каждом замкнутом промежутке, расположенным внутри области сход-ти степеного ряда (1).

 Считаем, что R>0. Если промежуток (-R^*,R^*) замкнутый и целиком лежащий в интервале ]-R,R[, то обязательно найдется - и , расположенные соответственно в ]-R,R^*[ и ]R^*,R[  . Eсли a_n - cходится, тоa_n M . Обозначим =q < 1. Мы получим ряд из членов убывающей геометрической прогрессии. Воспользуемся признаком Вейерштрасса M· сходится ряд равномерно на [-R^*,+R^*] 

Одна из формул определения радиуса сход-ти R степенного ряда (основанная на признаке Даламбера):

 - сходится. (сходится ) х<R; x>R - расходится

Замечание: В общем случае этот предел может не существовать.

8.2. Т-ма

Внутри интервала сход-ти сумма ряда (1) - непрерывная функция.

Т.к. члены степенного ряда (1) непрерывные функции, то согласно т-ме о непрерывности суммы ряда, ряд (1) явл-ся непрерывной функцией

Т-ма об интегрируемости степенного ряда:

Пусть [x₀,x₁](-R,R), тогда

1) (2)

2) Радиус сход-ти ряда (2), полученного после интегрирования равен радиусу сход-ти исходного ряда (1).

Пусть (2*). Найдем радиус сход-ти ряда (2*).

Т-ма о дифференцируемости степенного ряда:

1. Внутри интервала сход-ти сумма степенного ряда S(x) - дифференцируемая функция, ряд можно почленно дифференцировать.

2) Радиус сход-ти степенного ряда, полученного после дифференцирования, равен радиусу исходного ряда.

 1) Согласно предыдущей т-ме ряд сходится равномерно, члены дифференцируемы и по т-ме о дифференцируемости ряда ряд (1) можно дифференцировать почленно.

2. Рассмотрим ряд вида (S(x))’= ( a_nxⁿ)=a₁+2a₂x+3a₃x²+...+na_nx^n-1+..

Найдем радиус сход-ти этого ряда 

Формула Тейлора. Т-ма

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)- го порядка включительно в некоторой окрестности точки х=а, тогда имеет место формула Тейлора:

. R_n(x) - остаточный член, который может быть представлен в виде: (2) - форма Лагранжа, где -расположена между точками х и а. Другой вид:

Построим вспомогательную функцию (3)

тогда (а)=f(x)(x)=f(x)+f `(x)(x-x)+..=f(x)  (a)=f(x) и (x)=f(x). Тогда по т-ме Ролля найдется точка  в которой ’()=0. получим (2)

Замечания: 1) сущ-ют и другие представления R_n;

2. =a+(x-a), 1.

Ряды Тейлора и Макларена.

; f(x)=S_n(x)+R_n(x) (6); f(x)-S_n(x)=R_n(x) (6). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f⁽ⁿ⁾(x) в точке x=а и её окрестности. Получим: lim (f(x)-S_n(x))=lim R_n(x)=0 (7) . Если lim R_n(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim S_n(x) (8)  (9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Макларена:

.

Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если R_n(x)0.

Пример неразложимости функции в ряд Тейлора.

. Т.к. =0, то функция f(x) непрерывная 

Обозначим . По правилу Лопиталя

Аналогичным образом устанавливается, что функция f(x) имеет бесконечно большое число производных и все они непрерывны на всей оси, включая точку х=0 и в точке х=0 обращаются в нуль.

n=0,1,2... S_n(x)=0. f(x)=S_n(x)+R_n(x)R_n(x)  R_n(x)- не стремится к нулю, то ряда Тейлора для этой функции не сущ-ет.

Т-ма о представимости степенных рядов рядом Тейлора.

Если функция f(x) представима степенным рядом f(x)= a_n(x-a)ⁿ,

то этот степенной ряд явл-ся рядом Тейлора : f(x)= (x-a)ⁿ, т.е. a_n= (11). И такое разложение единственно и коэфициенты нах-ся по формуле (11).

 f `(x)= na_n(x-a)^n-1, f ``(x)= (n-1)na_n(x-a)^n-2,..., f⁽ⁱ⁾(x)= (n-i+1)(n-i+2)...na_n(x-a)^n-i ,

 f⁽ⁿ⁾(a)=n!a_n  (11). Докажем единственность: предположим противное и пройдя всю цепочку рассуждений получим все коэфициенты, которые определяются по формуле (11). 

Т-ма (достаточный признак сход-ти степенного ряда к функции f или представимости в виде ряда Тейлора).

Пусть f⁽ⁿ⁾(x)C=const n=0,1,1... в некоторой замкнутой окрестности точки аХ, тогда функция f представима степенным рядом Тейлора.

 Имеем R_n(x) (x-a)ⁿ⁺¹0 при n. Применяя признак Даламбера получаем, что ряд

(х-а)ⁿ⁺¹ сходится 

Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

5.f(x)=cosx, f(0)=1,

(cosx)`=-sinx(0)=0,

(cosx)``(0)=(-cosx)(0)= -1

(cosx)```(0)=sinx(0)=0

(cosx)````(0)=cosx(0)=1,...

Т.к. cosx-четная функция, то сохраняются только четные степени. . Т.к. sin и cos по модулю 1, то

Остаточный член оценивается точно так же как cos. Указанные ряды можно использовать лишь в окрестности точки х=0, при удалении от х=0 апроксимация будет резко ухудшаться.

7.f(x)=ln(1+x)

ln(1+x)= 

ln(1+x)

8.f(x)=arctgx

9. Биномиальное разложение.

f(x)=(1+x)^, -любое действительное число.

f(0)=1; f `(0)=(1+x)^-1=;

f ``(0)=(-1)(1+x)^-2=(-1);

f ```(0)=(-1)(-2)(1+x)^-3=

=(-1)(-2) ;...;

f⁽ⁿ⁾(0)=(-n+1)(1+x)^-n=(-n+1).

Определяем остаточный член:  в точке х=0 S(x)=1 и f(x)=1 

C=1.

Ряды Фурье.

Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].

Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:

(х), (х) интегрируемые при х[a,b], тогда (*) - cкалярное произведение.

для (*) вып-ся аксиомы ск-го произведения:

А.1 (,)=(,)

А.2 (,)=(,)=(,), =const

А.3 (,₁+₂)=(,₁)+(,₂)

Определение: Функции  и  на [a,b] ортогональны если (,)=0, т.е. (х)(х)dx=0.

Определение. Понятие нормированности: = - норма (длина вектора).

Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:

=[ ²(x)dx]^0.5

A.1 0, =0  0

A.2 =, R¹

A.3 ₁+₂=₁+₂

Определения: Если для системы функций ₁,₂,...,_n введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если

; ОН 

Пример: при x[-,]

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,

cosnx,sinnx}.

. Аналогично sin(nx)sin(mx)dx=0; sin(nx)cos(mx)dx=0. Найдем норму: cosnx=

. Аналогично sin(nx)= .Получаем ОН систему:

Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.

{₁(x),₂(x),...,_n(x)} - ОН система, т.е. . f(x)= f_n_n(x) - ряд Фурье, где f_n - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения на _m(x) и проинтегрируем:

f(x)_m(x)dx== _m(x) f_n_n(x)dx= f_n _m(x)_n(x)dx=0 - когда mn. Когда m=n:

=f_n(_n,_n)=f_n= f(x)_n(x)dx  f(x)  (f,_n)_n(x)

Ряд Фурье для тригонометрических функций.

, f(x)  (a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) (4)

где a_n= f(x)cos(nx)dx, b_n= f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...

Определение: Функция наз-ся кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.

Т-ма Дирихле: Пусть f(x)

1)определена для всех х[-,]

2)кусочно-непрерывная на [-,]

3)кусочно-монотонная на [-,]

4)ограничена на [-,], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка х[-,] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда

S(x)= (a_ncos(nx)+b_nsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=^1/2 [f(x-0)+f(x+0)]

S(-)=S()=^1/2 [f(+0)+f(-0)]

Замечания: 1)поведение функции f за пределами [-,] может в корне отличаться от значения S.

2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то соглас- но (4) мы должны продол- жить пе- риодическим образом с периодом 2.

Пример: f(x)=x, x[-,]

a₀= xdx=0

Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.

Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке

y[a,b] (a,b < ,a < b)

x=y+; [-,] переходит в [a,b].

, m, f(y+)=f*(y); dx=dy, a_n= f*(y)cosn(y+)dy

b_n= f*(y)sinn(y+)dy, f*(y)= + (a_ncosn(y+)+b_nsinn(y+))

Разложив cos и sin по формулам:

f*(y)= + (a*_ncosny+b*_nsinny), где нужно вычислить a*_n , b*_n и a*₀ .

Примеры: 1) a=0, b=L >0

x=

2. a= - L, b= L

x=