Пусть и - фокусы эллипса. Начало системы координат расположим на середине отрезка . Ось направим вдоль этого отрезка, ось - перпендикулярно к этому отрезку (рис. 7.2).

Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна , а расстояние между фокусами - . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение: (7.2)

где

Рис.7.2.

Уравнение (7.2) называется каноническим уравнением эллипса.

Какая кривая второго порядка перед нами?

1. ;

2 . ;

3. ;

4. ;

6. ;

7. ;

8. ;

8. Кривые второго порядка на плоскости (гипербола, парабола).

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Для получения уравнения гиперболы выберем систему координат. Начало координат расположим на середине отрезка между фокусами, ось направим вдоль этого отрезка, а ось ординат - перпендикулярно к нему (рис. 8.1).

Рис. 8.1.

Пусть расстояние между фокусами и гиперболы равно , а абсолютная величина разности расстояний от точки гиперболы до фокусов равна . Тогда гипербола в выбранной выше системе координат имеет уравнение: (8.1)

где

Уравнение (8.1) называется каноническим уравнением гиперболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой, параболы.

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось проведем перпендикулярно оси (рис. 8.2).