46. Чистые стратегии. Седловая точка.

Целью теории антагонистических игр, как и теории любого класса игр, является выработка для таких игр достаточно естественных представлений об оптимальности ситуаций и стратегий игроков и установление зависимости между свойствами игр, с одной стороны, и свойствами оптимальных в сформулированном смысле ситуаций – с другой. Наиболее слабой формой такой зависимости можно считать признаки существования оптимальных ситуаций, т.е. реализуемости соответствующих понятий оптимальности, а наиболее сильной – пути (алгоритмы) их нахождения и перечисления.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры а = β = υ называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность — оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш υ, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша υ. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклониться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_i и B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

46. Решение игр в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, т.е. (β ≠ a), то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий А₁, А₂, …, А_m с вероятностью р₁, р₂, …,р_i, …,р_m причем сумма вероятностей равна единице: =1.

Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы:

А₁ А₂ … A_i … A_m

S_A = p₁ p₂ … p_i … p_m

или в виде строки S_A = (p₁, p₂, …, p_i, …, p_m).

Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначают:

В₁ В₂ … В_j … В_n

S_В = q₁ q₂ … q_j … q_n

или в виде строки S_В = (q₁, q_2, …, q_i, …, q_n), где сумма вероятностей появления стратегий равна единице: = 1.

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий S*_A , S*_B в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры υ. Цена игры удовлетворяет неравенству:

а ≤ υ ≤ β

где а и β – нижняя и верхняя цены игры.

Пример: определить нижнюю и верхнюю цены игры, заданной

0,5 0,6 0,8 платежной матрицей Р = 0,9 0,7 0,8 . Имеет ли игра седловую точку? . 0,7 0,6 0,6

_{Решение: все расчеты удобно проводить в таблице, к которой кроме матрицы Р введены столбец ai, и строка βj}.

Bi Aj	B1	B2	B3	ai
A1	0,5	0,6	0,8	0,5
A2	0,9	0,7	0,8	0,7
A3	0,7	0,6	0,6	0,6
βj	0,9	0,7	0,8	а = β = 0,7

Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А),заполняем столбец a_i: a₁ = 0,5, a₂ = 0,7, a₃ = 0,6 - минимальные числа в строках 1, 2, 3.

Аналогично β_j = 0,9, β_j = 0,7, β_j = 0,8 – максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно.

Нижняя цена игры a = = max{0,5;0,7;0,6} = 0,7, i =1, 2, 3 (наибольшее число в столбце) и верхняя цена игры β = = min{0,9;0,7;0,8} = 0,7, j = 1,2,3 (наименьшее число в строке). Эти значения равны, т.е. a = β, и достигаются на одной и той же паре стратегий (A₂; B₂) и цена игры υ = 0,7