5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

 =   cos

Обозначение: (причем ).

Пример

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то  = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Пример

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где  - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

Пример



Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

 =

Пример

Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или ( , , ).

Пример

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

Пример

Если , , то .

Пример

6. Квадратичные формы.

Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а₁₁ ,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

Определение. Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а₁₁ , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.

7.Кривые второго порядка на плоскости (окружность, эллипс).

Определение.  Кривой второго порядка  называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

где   - вещественные числа, и хотя бы одно из чисел    отлично от нуля.    

Определение. Окружностью  называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой  центром  окружности.         

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус. 

Окружность радиуса   с центром в точке   имеет уравнение:

(7.1.)

Определение. Эллипсом  называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых  фокусами эллипса, есть величина постоянная.