35. Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия.

Понятие экстремума вводится для случая, когда число переменных . Будем полагать, что функция дважды дифференцируема в точке , ( ) и в некоторой ее окрестности.

Определение: если для всех точек этой окрестности или , то говорят, что функция имеет экстремум в (соответственно максимум или минимум).

Определение: точка , в которой все частные производные функции равны нулю, называется стационарной точкой.

Необходимое условие экстремума: если в точке функция имеет экстремум, то частные производные функции в этой точке равны нулю: .

Следовательно, точки экстремума функции удовлетворяют системе уравнений:

(45.1)

Для получения достаточных условий следует определить в стационарной точке знак дифференциала второго порядка. Дифференциала второго порядка обозначается . Если найти частную производную по переменной х_j, то получим частную производную второго порядка по переменным х_i , х_j , которая обозначается .

В этом случае: . (45.2)

Достаточные условия экстремума (двух переменных):

• если и ( ), то в точке функция имеет максимум;

• если и ( ), то в точке – минимум;

• если , то экстремума нет;

• если , то вопрос об экстремуме остается открытым, а такая точка называется седловой.

46. Глобальный и условный экстремумы

Как правило, в практических задачах необходимо определить наибольшее и наименьшее значения функции (глобальный экстремум) в некоторой области.

Говорят, что функция имеет в точке заданной области глобальный максимум (наибольшее значение) или глобальный минимум (наименьшее значение), если неравенство или, соответственно, выполняется для любой точки .

Теорема (Вейерштрасса): если область замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений или в стационарной точке, или в граничной точке области.

Чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции в ограниченной замкнутой области , где она непрерывна, можно руководствоваться следующим:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри области , и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области .

3. Сравнить полученные значения функции: самое большое (меньшее) из них будет наибольшим (наименьшим) значением функции во всей области .

Замечание. Если граница области определения функции состоит из нескольких частей, например, треугольник или прямоугольник, то находят наибольшее и наименьшее значения функции на каждой части, а затем сравнивают.

Граница области аналитически может быть задана системой уравнений (условий) относительно переменных . Поэтому, исследуя экстремальные свойства функции на границе, необходимо решить задачу определения условного экстремума.

Условный экстремум. Пусть необходимо найти экстремум функции при условии, что переменные удовлетворяют, уравнениям

, (46.1)

Предполагается, что функции и   имеют непрерывные частные производные по всем переменным. Уравнения (46.1) называют уравнениями связи. Говорят, что в точке удовлетворяющей уравнениям связи, функция имеет условный максимум (минимум), если неравенство ( ) имеет место для всех точек , координаты которых удовлетворяют уравнениям связи.

Легко заметить, что задача определения условного экстремума совпадает с задачей нелинейного программирования.

 Условными экстремумами именуются условные максимум и минимум.

 В случае функции двух переменных задача о нахождении точек условного экстремума решается двумя способами.

 Если представляется возможным, то из уравнения связи в результате функция преобразуется в функцию одной переменной , что даёт возможность решения задачи известными методами.