35. Теоремы двойственности.

Рассмотрим стандартную задачу ЛП и двойственную к ней:

Таблица 37.1

Прямая задача (I)	Двойственная ей задача (II)
……………………… ………	……… ……………………………..

Пара двойственных задач (I) и (II) называется парой симметрических двойственных задач.

Не ограничивая общности, теорию двойственности можно рассматривать для пары симметрических задач, поскольку для любой задачи ЛП существует эквивалентная ей стандартная задача ЛП и поэтому теоремы, справедливые для пары симметрических двойственных задач, будут справедливы для пары общих двойственных задач.

Рассмотрим пару симметрических двойственных задач в матричной форме записи.

Таблица 37.2.

Прямая задача (I)	Двойственная ей задача (II)

Здесь , , , ,

- матрица из строк и столбцов, - транспонированная матрица. Введем обозначения для допустимых областей задачи (I) и (II).

,

Основное неравенство двойственности: для любых допустимых решений прямой задачи и для любых допустимых решений двойственной задачи выполняется неравенство  .

Следствие (достаточное условие оптимальности): если для некоторых допустимых решений  и   выполняется равенство значений целевых функций , то , - оптимальные решения задачи (I) и (II) соответственно.

Первая теорема двойственности: если одна из пары двойственных задач (I) и (II) разрешима, то разрешима и другая задача, причем оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают.

, (37.1)

где , оптимальные планы задач (I) и (II) соответственно.

Вторая теорема двойственности: чтобы допустимые решения , пары двойственных задач (I) и (II) были оптимальными необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) , (37.2)

2) . (37.3)

35. Критерии оптимальности.

Первый критерий оптимальности: Решение оптимально тогда и только тогда, когда существует решение   такое, что

. (38.1)

Второй критерий оптимальности: чтобы допустимые решения , - пары двойственных задач (I) и (II) были оптимальны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения:

1. если , то ; (38.2)

2. если , то ; (38.3)

3. если , то ; (38.4)

4. если , то . (38.5)

Пример: используя теоремы двойственности, решить двойственную задачу, если известно решение прямой задачи.

, (38.6)

, , .

Пусть решение задачи найдено одним из стандартных методов: , .

Построим двойственную задачу:

, (38.7)

, , .

По первой теореме двойственности задача разрешима, причем

.

Найдем оптимальный план задачи , используя вторую теорему двойственности. Подставим координаты вектора в ограничения задачи (38.6).

Получим

Следовательно, неравенство должно выполняться как равенство, то есть .

Далее, так как , , то

, .

Получаем систему линейных уравнений:

, ,

Планы и , в силу второй теоремы двойственности, являются оптимальными в задачах (38.6) и (38.7) соответственно.