Действия со случайными событиями.

Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.

Пример 27.7. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w ₁, w ₂, w ₃, w ₄, w ₅, w ₆}, где элементарное событие w _i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w ₂,w ₄,w ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w ₅, w ₆}.

Событие A + B = {w ₂,w ₄, w ₅, w ₆} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W.

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB.

Пример 27.8. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w ₁, w ₂, w ₃,w ₄, w ₅,w ₆}, где элементарное событие w _i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w ₂,w ₄,w ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w ₅, w ₆}.

Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A и событие B, A B = {w ₆} A B W .

Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначается A\B.

Пример 27.9. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w ₂,w ₄,w ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w ₅, w ₆}. Событие A\ B = {w ₂,w ₄} состоит в том, что выпало четное число очков, не превышающее четырех, т.е. произошло событие A и не произошло событие B, A\B W .

Очевидно, что

A + A = A, AA = A, .

Определения суммы и произведения событий переносятся на бесконечные последовательности событий:

, событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых принадлежит хотя бы одному из ;

, событие, состоящее из элементарных событий, каждое из которых принадлежит одновременно всем .

Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности.

Пусть W - произвольное пространство элементарных событий, а - такая совокупность случайных событий, для которой справедливо: W , AB , A+B и A\B , если A и B .

Числовая функция P, определенная на совокупности событий , называется вероятностью, если:

1. P(A) 0 для любого A из ;

2. P(W ) = 1;

3. если A и B несовместны, то P(A+B) = P(A) + P(B);

4. для любой убывающей последовательности событий {A_i}из , , такой, что , имеет место равенство .

Тройку называют вероятностным пространством.

Вероятность события. Классическое определение вероятности.

Пусть W= {w ₁, w ₂, …, w _s} - произвольное конечное пространство элементарных событий, A - событие, состоящее из k элементарных событий: A={w _i1, w _i2, …, w _ik}, 1 i₁ i₂ … i _k s, k = 1, 2,…, s, и пусть

.

Определенная таким образом функция P(A) удовлетворяет всем аксиомам 1-4(здесь множество состоит из всех подмножеств множества W : ). Таково классическое определение вероятности события A.

Принята следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих A, к общему числу исходов.

Из приведенных определений следует: P( )=0, , .

Для любых двух событий A и B справедливо: .

Если события A и B несовместны, то .