17. Производящие функции.

Пусть - числовая последовательность,

Определение. , где числа называются коэффициентами, а символ называется переменной, называется формальным степенным рядом.

Обозначение: (24.1)

Любой многочлен можно считать записью формального степенного ряда, в котором все коэффициенты, начиная с какого-то номера, равны нулю.

Определение. Формальный степенной ряд называется производящей функцией последовательности .

Название формальный ряд для данной последовательности означает, что (24.1) мы трактуем только как удобную запись нашей последовательности - в данном случае несущественно, для каких (действительных или комплексных) значений переменной он сходится.

Если вспомнить формулу бинома Ньютона

И положить в этом равенстве , то получим

Мы видим, что является производящей функцией для чисел , . С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел .

17. Булевые функции и их представление. Двоичная запись целых чисел.

В курсе математического анализа изучаются функции, определённые на числовой прямой, на отрезке числовой прямой, на плоскости и т.п. Так или иначе, область определения – непрерывное множество. В курсе дискретной математики изучаются функции, область определения которых – дискретное множество. Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов. Таким образом, частным случаем функции y=f(x₁;x₂;…;x_n) является функция, значения которой и значения компонент её аргумента принадлежат множеству {0;1}. Такую функцию называют логической. Аргумент логической функции (x₁;x₂;…;x_n) часто называют двоичным (или булевым) вектором, а его компоненты -двоичными(или булевыми) переменными.

Логическую функцию также называют логической операцией, т.к. значения функции и её аргументов принадлежат одному множеству {0;1}.

Знаки логических операций называют логическими связками.

Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную используют так называемый "алгоритм замещения", состоящий из следующей последовательности действий:

1. Делим десятичное число А на 2. Частное Q запоминаем для следующего шага, а остаток a записываем как младший бит двоичного числа.

2. Если частное q не равно 0, принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1. Каждый новый остаток (0 или 1) записывается в разряды двоичного числа в направлении от младшего бита к старшему.

3. Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1 и 2 не получится частное Q = 0 и остаток a = 1.

Например, требуется перевести десятичное число 247 в двоичное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

24710 : 2 = 12310

24710 - 24610 = 1, остаток 1 записываем в МБ двоичного числа.

12310 : 2 = 6110

12310 - 12210 = 1, остаток 1 записываем в следующий после МБ разряд двоичного числа.

6110 : 2 = 3010

6110 - 6010 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

3010 : 2 = 1510

3010 - 3010 = 0, остаток 0 записываем в старший разряд двоичного числа.

1510 : 2 = 710

1510 - 1410 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

710 : 2 = 310

710 - 610 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

310 : 2 = 110

310 - 210 = 1, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

110 : 2 = 010, остаток 1 записываем в старший разряд двоичного числа.

Таким образом, искомое двоичное число равно 11110111₂.