15. Производная, ее геометрический и физический смысл.

П усть функция определена в интервале (a;b) и непрерывна в точке , и пусть . В окрестности точки выбирается произвольная точка x. Тогда разность называется приращением аргумента в точке . А разность – приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точки M и N. Угол называется углом наклона секущей, а ее угловым коэффициентом.

Из прямоугольного треугольника MPN . Если точка N будет стремиться к M вдоль данной линии, то есть , то секущая MN в пределе перейдет в касательную l , а угол наклона секущей – , в угол наклона касательной – .

Определение:

Производной функции в точке называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е .

Геометрический смысл производной.

Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции при равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке , т.е .

Физический смысл производной.

Если – закон прямолинейного движения точки, то – скорость этого движения в момент времени t.

Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:

Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока:

В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:

16. Дифференциал, его геометрический и механический смысл.

Пусть функция , определенная в некотором промежутке имеет производную в точке x.

.

Тогда можно записать , где при

Следовательно:

, где – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

Определение: Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. или .

Вычислим: . Следовательно

Геометрический смысл дифференциала.

Д ифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение .

Действительно на рисунке PN это приращение функции, а PT это приращение по касательной, или дифференциал.

Отметим, что может быть ,или – это зависит от направления выпуклости функции. тогда когда , т.е. функция равна постоянной.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

17. Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение.

Определение. Функция называется дифференцируемой, если во всех точках данного множества имеет производную.

Определение. Пусть функция определена на некотором множестве , и . Назовём точку точкой максимума функции на множестве , если при всех выполняется неравенство , и точкой минимума, если при всех выполняется неравенство . Точка , являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

Теорема 17.1. (Ферма)   Пусть функция имеет на множестве точку экстремума , причём множество содержит некоторую -окрестность точки . Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть , либо производная в точке не существует.

Замечание.   Заметим, что условие означает, что тангенс угла наклона касательной к графику , проведённой при , равен 0.

Рис.17.1. Поведение функции в окрестности точки экстремума

Геометрический смысл. Касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).     

Теорема 17.2. (Ролля)   Пусть функция дифференцируема на интервале , непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0: . Тогда найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Замечание.   Теорему можно переформулировать так: между двумя корнями и дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной (то есть точка , такая что ).

Геометрический смысл. Условие означает, что касательная, проведённая к графику при , расположена горизонтально.

Рис.17.2.

Теорема Ролля не утверждает, что корень  - единственный корень производной на интервале ; на этом интервале может находиться несколько корней производной.     

Теорема 17.3. (Лагранжа)   Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и . Тогда найдётся такая точка , что

Геометрический смысл. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и  --это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.17.3.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной ( ) будет равен углу наклона хорды ( ).