4. Определение замкнутой ортонормированной системы функций на отрезке. Теорема о свойстве полноты замкнутой ортонормированной системы функций. Следствия 1 и 2.

Def.1.: ОнСФ (ортонормированная система функций) называется замкнутой в множестве непрерывных функций на [a,b], если ряд Фурье для произвольной кусочно-непрерывной на [a,b] функции f(x) сходится в среднем к данной функции.

Трм.1.:(О свойстве полноты замкнутой ОнСФ).

Если кусочно-непрерывная на [a,b] функция f(x) ортогональна каждой функции ОнСФ , то f(x) =0 за исключением, может быть, конечного числа точек.

Док-во: Пусть выполняется условие, тогда для  все коэффициенты Фурье, составленные для функции f(x) равны 0  согласно равенству Парсеваля:  функция f(x) =0 на [a,b] за исключением, может быть, конечного числа точек, ч.т.д.

Следствие 1.: Всякая функция равная 0 на [a,b] за исключением, может быть, конечного числа точек, ортогональна к любой функции данной замкнутой ОнСФ .

Следствие 2.: Замкнутую ОнСФ невозможно пополнить присоединением к ней новых функций так, чтобы полученная система продолжал оставаться ОнСФ.

5. Теорема о представлении двух функций одним и тем же рядом Фурье. Теорема о сходимости ряда Фурье к самой функции на отрезке [а,b].

Трм.1.:(О представлении 2-х функций одним и тем же рядом Фурье)

Если две кусочно-непрерывные на [a,b] функции f(x) и F(x) имеют один и тот же ряд Фурье в замкнутой ОнСФ, то f(x)=F(x) на [a,b], за исключением, может быть, конечного числа точек.

Док-во: Если функции f(x) и F(x) имеют один и тот же ряд Фурье, то последовательность частичных сумм этого ряда S_n^*(x) сх-ся в среднем к этим функциям, т.е.  f(x)=F(x) на [a,b] (согласно определению интеграла Римана), за исключением, может быть, конечного числа точек, ч.т.д.

Трм.2.:(О сх-ти ряда Фурье к самой функции на отрезке [a,b])

Если в замкнутой ОнСФ ряд Фурье для f(x) равномерно сх-ся на [a,b], то его сумма равна этой функции f(x) на [a,b], за исключением, может быть, конечного числа точек. В частности если все функции данной ОнСФ и f(x) непрерывны на [a,b] и ряд Фурье сх-ся равномерно на [a,b], то его сумма равна f(x) всюду на [a,b].

Док-во: Если последовательность частичных сумм ряда Фурье сх-ся равномерно к F(x) на [a,b] при n+∞  эта последовательность сх-ся в среднем к этой функции F(x). Но с другой стороны сх-ся в среднем на [a,b] к функции f(x) (из предыд. трм.)  f(x)=F(x) на [a,b], за исключением, может быть, конечного числа точек, ч.т.д.

6. Тригонометрические ряды Фурье. Коэффициенты Фурье и их свойства. Периодическое продолжение функции на всю действительную ось.

Тригонометрические ряды Фурье. Коэффициенты Фурье и их свойства.

Было показано, что последовательность (1) 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),…,cos(nx), sin(nx) на любом отрезке длины [a,2π], aR, образует ОгСФ (ортогональную сис-му функций); а последовательность (2) образует ОнСФ. Заметим, что каждая из функций (1) или (2) является непрерывной на любом отрезке [a,a+2 π]. Тогда из параграфа 2(определение ряда Фурье по ОнСФ, трм. о минимальном св‑ве коэффициентов ряда Фурье, следствия 1 и 2, неравенство Бесселя) следует, что всякой кусочно-непрерывной на [a,b] функции f(x) соответствует тригонометрический ряд Фурье (3): , где

n=0,1,2…, и n=1,2,3… Коэффициенты a_n и b_n называются тригонометрическими коэффициентами Фурье в тригонометрической системе (1). Эти коэффициенты (кроме 1-ого) отличаются от соответствующих коэффициентов ряда Фурье для f(x) в ОнСФ (2) лишь общим множителем (1/π).

Тогда в ОнТСФ (ортонорм. тригонометрической сис-ме ф-ий) получаем:

(4) , где . Тогда для этой ОнТС справедливы равенство Парсеваля и неравенство Бесселя:

(5)

Для всякой кусочно-заданной на [a,a+2π] функции f(x) последовательности {a_n} и {b_n} сх‑ся к нулю, т.е.  (6) .

Следствие: Для всякой кусочно-непрерывной на [a,b] функции f(x) выполняются равенства , и

Док-во: Согласно предыдущим рассуждениям, утверждение справедливо, если b-a=2π. Пусть [a,b] - произвольный промежуток.

1) 0<b-a<2π: Продолжаем функцию f(x) следующим образом:

- рав-во (6) очевидно.

2) |b-a|>2π: Откладываем кратное число интервалов 2π и приходим к пункту 1, т.е. ч.т.д.

Def.1.: Рассмотрим функцию f(x), кусочно-непрерывную на [a,a+2π], и определим эту функцию . Функция f^*(x) определена на всей действительной оси с периодом 2π и совпадает с функцией f(x) (а в точках разрыва равна среднему арифметическому значений односторонних пределов функции в этой точке). Функция f^*(x) называется периодическим продолжением функции f(x) на всю вещественную ось с периодом 2π. Она кусочно непрерывна на любом отрезке конечной длины.

Если искать коэффициенты Фурье для функции f^*(x), то

, при a=-π (*)

, при a=-π. (**)

Из равенств (*) и (**) следует, что функцию f(x) не изменяя значения её коэффициентов Фурье, можно заменит её периодическим продолжением и рассматривать его на любом промежутке длины 2π.