1.Опр. Функция f:([a;b]r)r называется кусочно-непрерывной на [a;b] если она либо непрерывна на этом отрезке, либо если она имеет конечное число точек разрыва первого рода.

Опр. Средним квадратичным отклонением (СКО) f(x) от (x) на [a;b] называется число . Свойства СКО : 1) СКО является неотрицательным числом причем обращается в 0 тогда и только тогда когда f(x) и g(x) совпадают за исключением конечного числа точек; 2) (f,)=(,f) – симметрия; 3) СКО обладает свойством треугольника, т.е. (f,) (f,)+ (,).

Опр. Скалярным произведением f(x) и (x) на [a;b] называется интеграл .

Опр. Нормой функции f(x) на [a;b] называется СКО f(x) от нулевой функции .

Опр. Функции f(x) и g(x) называются ортогональными если (fg)=0.

Опр. Последовательность функций ₁(x), ₂(x),…, _n(x)…={_n(x)} называется ортогональной системой функций на [a;b] если две любые различные функции ортогональны и каждая из них имеет норму отличную от 0. Заметим, что (iN) (1).

Опр. Последовательность функций (1) ортогональных на [a;b] называются ортонормированной системой функций на [a;b].

Пример 1. 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx,… - ортогональная система функций на любом отрезке [a;a+2].

Пример 2. 1/2, (cos x)/, (sin x)/, (cos 2x)/, (sin 2x)/, …, (cos nx)/, (sin nx)/,… - ортонормированная система функций.

2.Опр. Рядом Фурье для кусочно-непрерывной функции f(x) на [a;b] называется ряд вида C₁₁(x)+ C₂₂(x)+…+ C_n_n(x)+…(1), где C_n – коэффициенты Фурье, являющиеся скалярными произведениями функций f(x) на соответствующие функции ортонормированной системы функций : .

Рассмотрим S_n(x)=k₁₁(x)+…+ k_n_n(x) (2) – линейную комбинацию и вычислим СКО S_n(x) от f(x) на [a;b] : , , , (*)

Теорема (минимальное свойство теоремы Фурье): из всех линейных комбинаций при данном nN наименьшее СКО на [a;b] имеет n-я частная сумма ряда Фурье S_n^*. Док-во. Из (*) следует, что наименьшее значение СКО принимает когда , т.к. k_i=C_i.

Следствия: 1) для СКО функции f(x) от S_n^*(x) на [a;b] справедлива формула ; 2) последовательность {(f(x),S_n^*(x))} является не возрастающей и для любой кусочно-непрерывной функции f(x) и nN : (**) откуда следует, что все частичные суммы ряда ограничены в совокупности одним и тем же числом M : (nN) : 0< C₁² + C₂²+…+ C_n²M.

Теорема (неравенство Бесселя): ряд составленный из квадратов коэффициентов ряда Фурье для f(x) на [a;b] сходится и имеет место неравенство Бесселя : (3).

Док-во. Переходя к пределу в неравенстве (**) получаем неравенство (3).

3. Сходимость в среднем. Теорема о связи равномерной сходимости и сходимости в среднем Необходимое и достаточное условие сходимости в среднем. Равенство Парсеваля.

Def.1.:Последовательность кусочно-непрерывных на [a,b] функций {f_n(x)} называется сходящейся в среднем к своей предельной функции f(x) на этом отрезке, если последовательность СКО (средне-квадрат. отклонений) , т.е. . Замечание: Если последовательность функций {f_n(x)} сходится в среднем на отрезке [a,b] к функциям f(x) и F(x) одновременно, то эти функции совпадают.

Трм.1.:(О связи равномерной сх-ти и сх-ти в среднем).

Если последовательность кусочно-непрерывных на [a,b] функций {f_n(x)} сх-ся равномерно на этом отрезке к f(x), т.е. , то эта последовательность сх-ся в среднем к этой функции.

Док-во: Пусть выполняется условие . А т.к. если , то и , то возможен предельный переход под знаком интеграла Римана, т.е. , ч.т.д.

Трм.2.:(Критерий сходимости в среднем)

НДУ сх-ти в среднем ряда Фурье для кусочно-непрерывной на [a,b] функции f(x) к самой этой функции является выполнение равенства Парсеваля: , где C_n - коэффициенты Фурье функции f(x) на [a,b].

Док-во: Составим СКО:

(согласно следствию 2 из трм. о минимальном свойстве коэффициентов ряда Фурье). Переходим к пределу при n∞. Тогда для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы , а это и есть равенство Парсеваля, ч.т.д.