7. Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.

Определение. ПустьА– множество элементов произвольной природы, V – действительное линейное пространство. А называется аффинным пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов , где , ставится в соответствие элемент , причем выполняются две аксиомы.

1*. (рис. 3.1).

2*. единственный такой, что . Этот вектор обозначается . Таким образом, (рис. 3.2).

Элементы аффинного пространства называются точками, а операция в аффинном пространстве называется откладыванием вектора от точки.

Рис. 3.1Рис. 3.2

Как видим, аксиомы аффинного пространства просто «списаны» со школьного точечного трехмерного пространства.

35.Определение матрицы перехода и её свойства.

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(3.41)

. (3.42)

Принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, например, – пятый вектор второго базиса. Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. Все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой t с двумя индексами: нижним индексом обозначим номер разлагаемого вектора, а верхним – номер координаты. Таким образом,

(3.43)

Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3.43) можно сокращенно записать одним равенством:

(3.44)

(оцените красоту записи!)

Введем следующие обозначения:

(подчеркиваем, что это матрицы-строки)

Тогда =[располагаем по правилу цепочки] = , откуда вытекает, что

. (3.45)

Матрицей перехода от базиса (3.41) к базису (3.42) называется матрицаТ= , столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3.43) или (3.44), либо одному матричному равенству (3.45).