- •Матрицы и линейные операции над ними.
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •Определение умножения матриц и свойства операции умножения.
- •Свойства произведения матриц
- •3. Степени квадратной матрицы
- •4.Транспонирование матриц
- •10.Основные свойства определителей
- •12.Обратная матрица
- •Свойства обратных матриц
- •14.Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •15.Ранг матрицы
- •Свойства ранга матрицы
- •16.Теорема о базисном миноре
- •18.Критерий совместности системы линейных уравнений
- •19.Однородные системы линейных уравнений
- •Свойства решений однородной системы линейных уравнений
- •22.Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом.
- •3*. Существование нейтрального элемента).
- •Простейшие следствия из аксиом.
- •23.Определение линейной зависимости и независимости элементов линейного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости.
- •Простейшие свойства линейной зависимости
- •24.Базис и координаты в линейном пространстве. Свойства координат векторов.
- •Свойства координат векторов
- •25.Матричный критерий линейной зависимости и независимости.
- •26.Определение размерности линейного пространства. Теорема о связи базиса и размерности. Следствия.
- •7. Как пример аффинного, евклидова и метрического пространств.
- •35.Определение матрицы перехода и её свойства.
- •Свойства матрицы перехода
- •38. Определение линейного оператора и его простейшие свойства.
- •39. Определение матрицы линейного оператора.
- •42.Операции над линейными операторами
- •50.Определение и свойства собственных векторов.
- •Свойства собственных векторов
- •§ 13. Правило нахождения собственных векторов
- •Правило нахождения присоединенных векторов
- •54. Определение приводимости квадратной матрицы к диагональному виду и вторая теорема о приводимости. Следствие.
- •60.Канонический вид квадратичной формы
- •61.Знакоопределенные квадратичные формы
- •62.Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм
- •63.Действительные евклидовы пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •64.Комплексные евклидовы (унитарные) пространства
- •65. Неравенство Коши – Буняковского.
- •68.Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов
- •82.Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве
- •83.Симметричные операторы в
- •84.Общее определение тензора
- •90.Основные определения и примеры
- •Примеры
- •Простейшие следствия из аксиом
84.Общее определение тензора
В предыдущих главах мы уже изучали различные объекты на линейном пространстве – линейные и билинейные формы, линейные операторы. Если в линейном пространстве задан базис
, (8.1)
то каждый из этих объектов в выбранном базисе задается совокупностью чисел, снабженных одним или двумя индексами. Если же в задан еще один базис
, (8.2)
то эти числа при переходе от одного базиса к другому меняются по определенным законам. Так, если – закон изменения базисных векторов, то
– закон изменения координат вектора,
– закон изменения компонент линейной формы,
– изменение элементов матрицы линейного оператора,
– изменение элементов матрицы билинейной формы
(здесь везде – матрица перехода от базиса (8.1) к базису (8.2), – обратная к ней).
Определение. Тензором типа (p, q) (или p раз контравариантным и q раз ковариантным) на линейном пространстве называется объект , который в каждом базисе (8.1) линейного пространства задается совокупностью чисел , снабженных p верхними и q нижними индексами, – компонент тензора, причем при переходе от базиса (8.1) к базису (8.2) компоненты тензора изменяются по закону:
, (8.3)
где - матрица перехода от (8.1) к (8.2), – обратная к ней. Этот закон преобразования впредь будем называть тензорным.
Число p + q называется валентностью (или рангом) тензора.
Определения. Тензор называется нулевым, если все его компоненты в некотором, а значит, и в любом базисе пространства равны нулю.
Два тензора одного типа называются равными, если совпадают их соответствующие компоненты в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .
Тензор называется симметричным по паре верхних индексов или по паре нижних индексов, если при перестановке этих индексов его компоненты не меняются.
Например, если ,
то тензор симметричен по первому и третьему верхним индексам.
Тензор называется полностью симметричным по всем верхним (нижним) индексам, если он симметричен по любой паре верхних (нижних) индексов.
Тензор называется антисимметричным по паре верхних (нижних) индексов, если при перестановке этих индексов его компоненты лишь меняют знак.
Например, если ,
то тензор антисимметричен по первому и третьему нижним индексам.
90.Основные определения и примеры
Определение. Группой называется множество G элементов произвольной природы, в котором задана внутренняя операция, удовлетворяющая трtм аксиомам.
1*.
2*.
3*.
Если групповая операция, кроме того, коммутативна, то группа называется коммутативной или абелевой.
Если групповая операция – сложение, то группа называется аддитивной, если – умножение, то – мультипликативной.