6.4 Последовательное соединение r, l, с

До сих пор мы рассматривали идеальные индуктивности и емкости. Однако, каждый из этих элементов имеет и активную составляющую

6.10 Графики основных величин при последовательном соединении R,L,C

сопротивления. Кроме того, активные сопротивления имеют проводники, по которым подводится напряжение к указанным элементам. Поэтому в реальных цепях всегда присутствуют и активные и реактивные сопротивления – см. рисунок.

При прохождении переменного тока i=I_msint через электриче­скую цепь, состоящую из последо­вательно соединенных элементов R, L, С на зажимах этой цепи создается переменное на­пряжение, равное алгебраической сумме переменных напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа):

и = u_R+и_L+ и_{C (6.26)}

Напряжение u_R на сопротивле­нии R совпадает по фазе с током i, напряжение u_L на индуктивности L опережает, а напряжение и_C на ем­кости С отстает от i на /2. Следовательно, напря­жение и на зажимах всей цепи равно:

u=U_msin(t + ) = RI_msint + LI_msin(t + ) +

+ I_msin(t - ) = RI_msint + (L - ) I_msin(t + )

(6.27)

Это уравнение представляет собой тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгно­венных значений напряжений. Вхо­дящая в него величина

x = x_L - x _C = L - (6.28)

называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от знака мо­жет иметь индуктивный (X>0) или емкостный (Х<0) характер. В отли­чие от реактивного сопротивления Х, активное сопротивление R всегда по­ложительно.

Построим векторные диаграммы для случаев, когда X>0 и Х<0.

Падение напряжения от тока в активном и реактивном сопротив­лениях изображается катетами пря­моугольного треугольника напряже­ния 0аb, гипотенуза которого изо­бражает напряжение на зажимах цепи. Отсюда

(6.29)

или (6.30)

Полученное выражение показы­вает, что действующие значения (так же, как и амплитуды) напря­жения на зажимах цепи и тока, про­ходящего через данную цепь, свя­заны соотношением, аналогичным закону Ома.

Выражение

(6.31)

называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

Поскольку последние два уравнения (для напряжения и для полного сопротивления) похожи на теорему Пифагора, можно ввести понятия треугольника напряжений и треугольника сопротивлений. Треугольники напряжений видны на векторных диаграммах. Треугольники сопротивлений, очевидно, будут выглядеть так:

Рис.6.12 Треугольники сопротивлений

Активное, реактивное и полное сопротивления относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей. Из векторных диаграмм следует:

Угол  положителен при индуктивном характере цепи, т. е. при Х>0; при этом ток отстает по фазе от напряжения.

Угол  отрицателен при емкост­ном характере цепи, т. е. при Х<0, при этом ток опережает по фазе на­пряжение.

Ток совпадает с напряжением по фазе при Х =Х _L- X_C = 0, т. е. при равенстве индуктивного и емкост­ного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи назы­вается резонансом напря­жений.

Из треугольника сопротивлений следует, что активное и реактивное сопротивления цепи связаны с пол­ным сопротивлением формулами:

R = Zcos; X = Zsin (6.32)

Умножив правые и левые части этих выражений на действующее значение тока I, получим действующие значения на­пряжений на активном и ре­активном сопротивлениях, изображаемые катетами тре­угольника напряжений и на­зываемые активной и ре­активной составляю­щими напряжения:

U_a= RI = ZIcos = Ucos (6.33)

U _p= XI = ZIsin = Usin (6.34)

Мгновенные значения напряже­ний на активном и реактивном со­противлениях, суммирующиеся ал­гебраически имеют фазовые сдвиги ±/2. Поэтому непосредственное сложение дейст­вующих значений этих функций не дает действующего значения на­пряжения на всей цепи. Как видно из треугольника напряжений, активная и ре­активная составляющие напряже­ния связаны с действующим значе­нием суммарного напряжения фор­мулой

(6.35)

Если все стороны треугольника напряжений разделить на I, то по­лучится прямоугольный тре­угольник сопротивлений, подобный треугольнику напряже­ний.

Умножим в последнем выражении обе части на действующее значение тока

(6.36)

Получилось уравнение полной мощности S (P – активная мощность, Q – реактивная мощность). Уравнение хорошо интерпретируется треугольником мощностей.

Рис.6.13 Треугольники мощностей

Само собой : P = S cos = UI cos - формула активной мощности в сетях переменного тока.

(6.37)

Из последней формулы следует важный практический вывод – для того чтобы уменьшить ток в сети переменного тока для передачи заданной активной мощности, а следовательно и потери напряжения на активных сопротивлениях, нужно стремиться уменьшить реактивную мощность. Другими словами – нужно уменьшать угол , или увеличивать cos, который называется коэффициентом мощности сети переменного тока.

В сетях переменного тока реактивная мощность появляется, в основном, за счет индуктивностей (трансформаторы, двигатели обладают обмотками). Поэтому, чтобы уменьшить ток в сети, нужно компенсировать реактивную мощность индуктивности.