5 Что могут аффинные преобразования?

Итак, мы выяснили, что сохраняют аффинные преобразования. Теперь посмотрим, на что они способны. Можно ли с помощью аффинного преобразования из трапеции сделать квадрат? Или из параллелограмма — квадрат? Из любого ли треугольника можно сделать правильный треугольник? Постараемся выяснить, какими деформирующими способностями обладают аффинные преобразования.

Основываясь на рисунке 9, решите следующие задачи.

Задача 16[8]

Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно одной из сторон из любого треугольника можно сделать равнобедренный.

Задача 17[8]

Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно основания из равнобедренного треугольника можно сделать правильный.

Задача 18[8]

Покажите, что с помощью гомотетии относительно центра правильного треугольника из него можно получить правильный треугольник с единичной стороной.

Рис. 9. Превращение треугольника в правильный.

Задача 19[9]

Основываясь на трех предыдущих задачах, докажите, что с помощью аффинного преобразования из любого треугольника можно сделать любой другой. То есть, если нам даны два треугольника и , то существует аффинное преобразование, которое переводит первый треугольник во второй.

Подсказка: Обратите внимание на свойство 4 — «обратное к аффинному - аффинно», и если мы смогли сделать из равносторонний треугольник, то и из равностороннего можно с помощью аффинного преобразования получить обратно . Теперь из сделаем равносторонний, а из равностороннего — и вспомним про свойство 3.

Заметьте также, что нам важно следить только за положением вершин. Если вершины перейдут в вершины , то стороны совпадут автоматически, так как аффинные преобразования сохраняют «свойство прямоты».

Задача 20[8]

Докажите, что не из всякого четырехугольника можно сделать квадрат.

Решение. Возьмите четырехугольник с непараллельными сторонами. Они останутся непараллельными.

Задача 21[8]

Докажите, что не из всякого пятиугольника (шестиугольника) можно сделать правильный пятиугольник (шестиугольник).

Задача 22[8]

Докажите, что из круга нельзя сделать квадрат, а из квадрата нельзя сделать треугольник.

Задача 23[11]

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно получить:

Определение 6.

Эллипс — это фигура на плоскости, которая в подходящих декартовых координатах задается уравнением

Определение 7.

Эллипс — это фигура, которую можно получить из круга, применяя аффинное преобразование.

Задача 24[10]

Докажите, что эти два определения эллипса равносильны.

Подсказка: Эта задача включает в себя две задачи. Сначала нужно показать, что из первого определения следует утверждение второго определения, потом наоборот. Вторая часть сложнее, так как для неё необходимо иметь представление о всех возможных аффинных преобразованиях.

Задача 25[10]

Докажите, что применяя движения, растяжения и сжатия относительно прямых, можно получить любое аффинное преобразование.

Подсказка: Решите сначала следующие три задачи.

Задача 26[10]

Пусть дана прямая и точка на ней. Преобразование — произвольное аффинное преобразование. Докажите, что после аффинного преобразования можно применить движение (параллельный перенос и поворот) так, что в итоге получится преобразование, которое точку оставляет неподвижной и переводит прямую в себя.

Задача 27[10]

Пусть даны две пересекающиеся в точке прямые и . Докажите, что после произвольного аффинного преобразования можно применить движение и сжатие (или растяжение) относительно прямой так, что в итоге получится преобразование, которое эти прямые переводит в себя.

Подсказка: Первым делом, совместите биссектрисы углов между прямыми , и прямыми , , а также точки их пересечения. Применяйте сжатие (растяжение) вдоль этих биссектрис.

Задача 28[10]

Пусть даны две перпендикулярные прямые и , пересекающиеся в точке . Докажите, что после произвольного аффинного преобразования можно применить движение и несколько сжатий или растяжений относительно прямых так, что в итоге получится преобразование, которое все точки на этих прямых переводит в себя.

Задача 29[10]

Докажите, что если аффинное преобразование сохраняет неподвижными все точки на двух пересекающихся прямых, то это преобразование все остальные точки плоскости тоже оставляет неподвижными.

Задача 30[8]

Докажите, что из любой трапеции афинными преобразованиями можно сделать равнобокую трапецию.

Задача 31[8]

Докажите, что из любого прямоугольника можно сделать квадрат.

Задача 32[8]

Докажите, что из любого треугольника можно сделать прямоугольный треугольник.

Задача 33[8]

Докажите, что из любого параллелограмма можно сделать квадрат.

Определение 8.

Парабола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение

Задача 34[11]

Докажите, что множество всех парабол — это множество всех фигур, которые можно получить из параболы при помощи аффинных преобразований.

Определение 9.

Гипербола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение

или

Задача 35[11]

Докажите, что множество всех гипербол — это множество все фигур, которые можно получить из гиперболы при помощи аффинных преобразований.