3 Гомотетия

Есть еще важный класс аффинных преобразований — это сжатия и растяжения относительно точки. Они называются преобразованиями подобия или гомотетиями.

Определение 5.

Гомотетия относительно точки с коэффициентом точку переводит в точку , которая удалена от точки в раз сильнее чем точка и лежит на прямой c той же стороны от точки , что и точка , если . Если , то и лежат по разные стороны от точки . Другими словами,

Задача 3[8]

а) Что такое гомотетия? - см. школьный учебник по геометрии.

б) Что такое гомотетия с коэффициентом 1,

а с коэффициентом ?

Решение

б) Тождественное преобразование (преобразование, которое ничего не преобразует, а все оставляет на своих местах); где в таком случае находится точка, относительно которой выполняется преобразование?.

в) поворот на вокруг центра гомотетии.

Конец решения.

Как вы узнали из задачи 2 (ссылка), растяжение (сжатие) относительно прямой можно реализовать как проекцию фигуры с помощью параллельного пучка лучей с одной плоскости на другую плоскость, не параллельную ей. А гомотетия получается при проекции с помощью центрального пучка лучей с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость (рис.5).

Задача 4[8]

Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом

а) ; б) ?

Решение

Гомотетия с коэффициентом а) , б) и тем же центром.

Конец решения.

Рис. 5. Гомотетия как проекция фигуры с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость с помощью центрального пучка лучей.

Обозначения 1

Обозначим как растяжение относительно прямой с коэффициентом , (если , то это сжатие). И, в то же время, будет обозначать гомотетию относительно точки с коэффициентом .

Мы уже выяснили, что растяжение (сжатие) относительно прямой есть аффинное преобразование, т.е.

Задача 5[8]

Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:

Подсказка. Это можно сделать, решив следующую задачу. Кроме того, есть простой путь для тех, кто освоился с декартовой системой координат. Поместите начало системы координат в центр гомотетии и определите, что происходит при гомотетии с координатами точки. Как выглядит общее уравнение прямой? Почему прямые линии при гомотетии остаются прямыми?

задача 6[8]

Докажите, что гомотетию относительно точки можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно перпендикулярных прямых и , пересекающихся в точке :

.

Точнее

(Эту запись следует читать так: «Для любого вещественного числа и двух перпендикулярных прямых и , пересекающихся в точке , верно равенство ».)

Подсказка: смотрите рисунок 6.

Рис.6. Из двух растяжений вдоль перпендикулярных направлений получается гомотетия (подсказка к решению задачи 6).

Задача 7[9]

Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются (уменьшаются)

Задача 8[9]

Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности, а правильные треугольники — в правильные треугольники.

Решение

Следует из предыдущей задачи. Отношение расстояний не меняется, потому множество равноудаленных от точек переходит в множество равноудаленных от точек. Аналогичные рассуждения для двух вершин правильного треугольника, которые равноудалены от третьей.

Задача 9[10]

Докажите, что композиция двух гомотетий есть снова гомотетия, причем центры всех трех гомотетий лежат на одной прямой.

Задача 10[10]

Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом и параллельного переноса есть снова гомотетия с тем же самым коэффициентом, но относительно другой точки.