35. Применение фикт. Переменных для моделирования сезонных колебаний
Рассм. исп-ние фикт. переменных ФП (колич-но описывает кач-ный признак) для оценки пар-ров временного ряда ВР.
Т.к. рассм 3 сезона, то кол-во ФП равно 2-м.
ФП = 1, для данного периода и ФП = 0, для ост периодов.
Пусть имеется ВР, содержащий циклические колебания периодичностью k = 3, а общ. вид модели им. вид: yt = a + b·t + c1d1 + c2d2 + εt (1), где
Ур-ние тренда б. им. вид: для I кв. yt = a + bt + c1 + t; для II кв. yt = a + bt + c2 + t; для III кв. yt = a + bt
Т.О. фикт. пер. позволяют дифференцировать величину своб. члена ур-ния регрессии каждого квартала. Она составит: для I кв. a + c1; для II кв. a + c2; для III кв. a.
Параметр b хар-ет ср. абс. изменение уровней ряда под воздействием тенденции.
Для k = 3: в модели 3 незав. перем: t, d1, d2 и результативная перем. у.
Параметры (a, b, c1, c2, t – станд. ошибка) ур-ния регрессии (1) оцениваем обычным МНК (использ. t-критерий Стьюдента) и записываем ур-ние регрессии.
Далее анализируем результаты. Влияние сез. компоненты в каждом кв-ле м.б. статистически значимо (все фактич. значения t-критерия по модулю > 2). Параметр а – это сумма нач. уровня ряда и сез. компоненты в III кв-ле.
Замеч. Пар-ры c1, c2 ≠ значениям сез. компоненты S, т.к. они хар-ют отклонения уровня ряда в III кв. Положит. вел. пар-ра b при перем. t говорит о наличии возрастающей тенденции в уровнях ряда. Исходя из величины пар-ра b и фактич. знач. t (если b<t), м. утверждать, что сущ-ние в уровнях ряда тенденции установлено надежно.
42. Оценка структуры стационарного процесса. Автокорреляционная функция
Согласно определению автокорреляционная функция (ACF) определяется след образом: ρ τ = γτ / γ0 = Е [(Xt – μ ) * (X t+1 – μ )] / γ0. График ρτ наз-ется коррелограммой. Определенная форма автокорреляционной ф-ции является хар-кой определенных видов ARMA-процессов. В связи с этим такие ф-ции используются при анализе ВР для определения типа и порядка процесса, а также соответствующей модели. Для процесса AR(p) коррелограмма представляет собой смесь экспоненциальной кривой и синусоиды.
Пример 1. Пусть Xt — процесс AR(1) без свободного члена с φ1<1 – стацион процесс, т.е из Xt = φ1x Xt-1 + at => Xt2=(φ1 Xt-1 + at)2 = φ12 X2t-1 + 2 φ1Xt-1 at + at2 =>
γ0 = E(Xt2) = φ12 γ0 + 0 + σa2, откуда: γ0 = σa2 / (1 – φ21). Для вычисления γ1 рассмотрим X t-1 = φ1Xt-2 + a t-1. Тогда Xt Xt-1 = (φ1 Xt-1 + at) Xt-1 = φ1 X2t-1 + Xt-1 at. Т.о. получим: γ1=E (Xt Xt-1) = φ1 E (X2t-1) + 0 = φ1σa2 / (1 - φ21). Из этого следует, что ρ1=φ1. В общем виде получается геометрическая прогрессия: ρk = φ1k На рисунке представлены автокорреляционные функции процесса AR(1) при разных значениях φ1.
Пример 2. Теперь исследуем автокорреляционную функцию процесса МА(1): Xt = at - Ө1 at-1. Из Xt2=at2 - 2Ө1at at-1 + (Ө1at-1)2 следует: γ0 = E(Xt2) = (1 + Ө12)σa2. Из Хt-1 = at-1 - Ө1at-2 получим, что Xt Xt-1 = (at - Ө1 at-1)(at-1 - Ө1 at-2) = at at-1- Ө1 at at-2 - Ө1 at-12 + Ө12 at-1 at-2.. Получаем: γ1=E (Xt Xt-1) = 0 – 0 – Ө1 σa2 + 0 и в результате деления на дисперсию γ0 : ρ1= –Ө1 / (1+Ө12). Из условия Xt Xt-2 = (at - Ө1 at-1)(at-2 - Ө1x at-3) = at at-2 - Ө1 at at-3 - Ө1 at-1 at-2 + Ө12 at-1 at-3 и в силу независимости всех аt, at-1, ... следует: γ2 = E(Xt Xt-2) = 0 и => ρ2 = 0. Все последующие значения γ равны нулю. Обобщаем рез-т для процесса МА(q) получим q автокорреляционных коэф-тов значимо отличных от нуля, а всех остальных близких к нулю незначимо.
В кач-ве оценки автоковариационной ф-ции эргодического процесса, сгенерировавшего временной ряд Xt можно применять
В
разных
источниках используются
либо 1-ая либо 2-ая. Очевидно, что при Т>>τ
различие между оценками исчезает. Оценка
автокорреляционной
функции ,
где
sx
2
- выборочная
дисперсия полученного ВР.