Циклические коды некоторые обозначения и определения

Циклический код обычно имеет обозначение (n, m, d), где n – длина кодовой комбинации, m – длина информационной последовательности в кодовом слове и d – минимальное кодовое расстояние кода.

a(x) – полином, состоящий из x разной степени и коэффициентов a соответствующие им: . В свою очередь A представляет собой набор коэффициентов, упорядоченных в соответствии своему индексу: . В арифметике по модулю два коэффициент a_i может принимать два значения – 0 или 1, поэтому набор коэффициентов A –двоичное число.

Степенью многочлена называют наибольшую степень x с ненулевым коэффициентом.

R_B(A) = остаток ( ); C_B(A) = частное ( ).

Весом W(A) кодовой комбинации A считается количество единиц в A. Например, A = 1001101, W(A) = 4;

Расстояние Хэмминга (кодовое расстояние) d называется расстояние между двумя кодовыми комбинациями. Кодовое расстояние равно весу результата от сложения двух кодовых комбинаций. Например, A = 1100101, В = 10010101, d(A, B) = W(AB) = 4.

W = 4.

Арифметика по модулю два

Итогом любой операции по модулю два является остаток от деления результата операции на 2. Таким образом, максимальное значение коэффициента а равно 1. В этом случае таблицы истинности умножения и сложения коэффициентов по модулю два будут выглядеть следующим образом:

,

где a, b, d – разряды двоичных чисел A, B, D.

Операция деление по модулю два выполняется с помощью сложения по модулю два «столбиком». Например,

Двоичные циклические коды

Наиболее изученными среди всех кодов являются циклические коды, так как они легко кодируются и содержат важнейшее семейство кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ). Кроме того, они используются для построения многих других кодов, таких как, кодов Керока, Препараты и Юстенсена.

Код С называется циклическим, если он линеен и любой циклический сдвиг разрешённой кодовой комбинации (кодовое слово) также является разрешённой кодовой комбинацией, т.е. если (с₀,с₁,…,с_n-1) принадлежит C, то и (с_n-1,с₀,с₁,…,с_n-2) принадлежит С.

Порождающим многочленом g(x) циклического кода С длины n, является многочлен с максимальной степенью n – m, являющийся множителем двучлена xⁿ + 1, где n – количество разрядов кодового слова, m – количество информационных разрядов (содержат данные).

Благодаря главной конструктивной особенности циклического кода возможен простой не ресурсоёмкий способ декодирования и обнаружения/исправления ошибок.

Основными операциями помехоустойчивого кода являются кодирование и декодирование.

Кодирование помехоустойчивым кодом – это процесс преобразования информационных разрядов в кодовое слово, путём ввода избыточности.

Декодирование помехоустойчивым кодом – это процесс извлечения информационных разрядов из принятого кодового слова с обнаружением и/или исправлением ошибок в них.

Кодирование

В зависимости от представления информационных символов в кодовом слове существует два метода кодирования: явный и неявный.

При неявном методе разряды данных и контрольных символов представлены в кодовом слове в неразделимом виде, т.е. извлечь информационные символы из кодового слова без специального преобразования нельзя. Такой способ кодирования требует дополнительных затрат в процессе декодирования для извлечения данных.

При явном методе кодирования получаются кодовые слова, в которых разделимы информационные и контрольные символы в явном виде, без специальных преобразований. Далее будем рассматривать только явный метод.

Известно два основных способа кодирования циклическим помехоустойчивым кодом:

1. табличный метод;

2. с помощью деления.

Суть табличного метода заключается в том, что все кодовые слова предварительно вычисляются и записываются в виде таблицы в память. Адресом в таблице служат данные, которые необходимо закодировать, а содержимым таблицы является либо само кодовое слово (рис. 1а), либо контрольные разряды (рис. 1б), которые присоединяются к информационному блоку.

Рис. 1. Табличное кодирование

D – информационный блок разрядности m; cW – кодовое слово разрядности n.

Во втором способе кодирования данные D, подлежащие кодированию, сдвигаются на n–m разрядов влево, затем производятся вычисление остатка от деления на образующий полином и подстановка остатка в младшие разряды кодового слова cW (рис. 2).

Рис. 2. Кодирование циклическим кодом