
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Билет №5
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 2. Решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 2. Решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 2. Решения задачи Коши для волнового уравнения.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
- •Тема 5. Метод функций Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа.
- •Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
- •Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
БИЛЕТ 1
Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
Найти область на плоскости, в которой уравнение (y2+1)uxx-x(uxy+uyy)+y(ux+uy)=0 имеет гиперболический тип.
Решение
Для того, чтобы уравнение гиперболического
типа необходимо, чтобы
Преобразуем наше уравнение:
.
Найдем
,
известно что:
,
в нашем случае:
Таким образом:
Неравенство выполняется, когда
и
имеют один знак.
В первом случае область ограничена
прямой
а во втором параболой с вершиной в точке
(-4,0). Построим графики этих функций.
В итоге получим следующую область:
данное уравнение имеет гиперболический
вид в заштрихованных областях, не включая
линий графиков функций
и
.
Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
На концах однородного изотропного стержня длиной l поддерживается нулевая температура. Предполагая, что стенки стержня теплоизолированы от окружающей среды, найти закон распределения температуры в стержне, если известно, что в начальный момент имелось следующее распределение температуры:
, где
U0 = const.
.
Решение
Имеем уравнение теплопроводности:
и краевые условия первого типа. Данную
задачу будем решать методом Фурье.
Решение данной задачи представим в виде
произведения:
.
Подставляем, преобразуя, разделяем переменные:
,
,
Получаем
-
задача Штурма–Лиувилля:
Решение этого уравнения в общем виде
Из начальных и краевых условий:
Отсюда собственные функции (с точностью до произвольного постоянного множителя):
.
Из второго уравнения:
.
Решение этого ДУ:
Тогда:
Найдем Cn из начальных условий и принципа ортогональности:
.
Тогда закон распределения температуры
для поставленной задачи запишется в
виде:
БИЛЕТ 2
Тема 1. Задачи, приводящие к уравнениям различных типов.
Найти область на плоскости в которой уравнение x3uxx+2xyuxy+y(1+x)uyy-u=0 имеет эллиптический тип.
Решение
Уравнение имеет эллиптический вид, если
,
где
Для данного уравнения
т.к.
всегда, то должно выполнятся
Запишем это неравенство как:
Рассмотрим
два случая,
1) Если
, тогда
2) Если
, тогда
Рис. искомая область.
Тема 3. Метод разделения переменных для решения краевых задач.
Однородная прямоугольная мембрана (
,
),
закрепленная вдоль всего контура,
лежащего в горизонтальной плоскости,
и имеющая в начальный момент форму
,
начала колебаться с начальной скоростью
.
Найти закон свободных колебаний мембраны.
Получить решение в случае
,
если натяжение мембраны Т0
равно ее поверхностной плотности ,
т.е.
.
Решение
Предполагая,
что мембрана совершает малые колебания,
запишем уравнения свободных колебаний
мембраны:
,
где
,
(1)
Имеем 1ю краевую задачу с граничными условиями
(3)
(3)
Находим решение методом Фурье:
.
(4)
Подставим формулу (4) в уравнение (2),
получим
.
Разделив это равенство на
,
имеем
,
Откуда
,(5)
следовательно,
-
Задача Штурма-Лиувилля
Собственные функции (с точностью до произвольного постоянного множителя):
,
собственные значения
,
n=1,2…
Также из (5) следует
.
(6)
разделим переменные:,
.
Откуда
Решение
собственные значения
, где k=1,2…
Из (6)
Обозначим
или
;
где
,
.
(9)
Каждой паре номеров
,
соответствует свое решение
.
Решение этого уравнения:
,
где
и
- произвольные постоянные.
Подставляя найденные
,
и
в (4), получаем все возможные нетривиальные
решения уравнения (1),
,
Общее решение:
(10)
Из начальных условий и принципа ортогональности:
и
.
где , a=1
Из этих равенств заключаем, что все
числа
за исключением коэффициента
.
А из 2го условия все
Тогда решение
.
БИЛЕТ 3
ЗАДАЧИ