Вопрос1.Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

1.Функция Ф(х) называется первообразной для функции ф(х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равентсво Ф’(x)=f(x). 2.Совокупность всех первообразных для функции ф(х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции ф(х) и обозначается ∫f(x)dx = F(x)+C, где С – произвольная постоянная. В записи ∫f(x)dx f(x) подыинтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением. Нахождение неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции. Операции интегрир. И дифференцирования взаимно обратны. 3.Основные свойства неопределенного интеграла:

1. (∫f(x)dx)’ = f(x)

2. d(∫f(x)dx) = f(x)dx

3. ∫dF(x) = F(x)+C

4. ∫αf(x)dx = α∫f(x)dx ,где альфа некоторое число

5. ∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx.

Вопрос 2.Простейшие методы интегрирования. 1.Метод замены переменной. Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной( или метод подстановки), описываемый след формулой: ∫f(x)dx=∫f(φ(t)φ’(t)dt, Где х = - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. По опр. Дифференциала подынтеграл. Выражения левой и правой частей равенства совпадают. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл даже до табличных. 2.Метод интегрирования по частям. Пусть u=u(x) , v=v(x) – дифференцируемые функции. По свойству дифференциала D(uv)=vdu + udv Или Udv=d(uv) _ vdu Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая , получаем ∫udv = uv - ∫vdu Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подинтеграл. Выражения искомого интеграла на два сомножителя( и и дв). При переходе к правой части первый из них дифференцируется , второй интегрируется.

Вопрос 3. Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Рациональной дробью называется выражение вида  , где  , –многочлены степеней n и m соответственно. Если  , рациональная дробь называется правильной, в противном случае  –неправильной. Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. Любую неправильную дробь можно представить в виде:     ,

где

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

 

a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как   является правильной дробью.

 

Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

1)  ,      2)  ,    3)  ,     4)           .

Каким образом они интегрируются:

1. 

2. 

3. 

4. Пусть правильная :

  Всякую правильную дробь можно представить  в виде суммы простейших дробей (без доказательства).

Следствие 1. Если   - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена   будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

 Пример 1.  

 Следствие 2. Если   - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена   будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:

 

Пример2.     

Следствие 3. Если   - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена   будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:

Пример 3.  

 Следствие 4. Если   - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена   будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:

 

 

 

            Пример 4.

 

 

Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения   , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на   Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:

1.    равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.

2.    совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.

3.    комбинированный метод.

 Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь   в виде:   . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей.  Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме. 

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.