22. Фиктивные переменные

Обычно факторы в регрессионной модели имеют непрерывные области изменения (национальный доход, уровень безработицы и т.п.). Но часто неко­торые регрессоры могут принимать только два значения или в общем случае дискретное множество значений. Такие ситуации возникают, если в качестве факторов используются ранжированные данные. Например, исследуя зависи­мость зарплаты от различных факторов возникает вопрос, влияет ли на ее раз­мер наличие у работника высшего образования или его пол. Можно оценивать соответствующие уравнения внутри каждой категории, а затем изучать разли­чия между ними. Но введение дискретных переменных позволяет оценивать одно уравнение сразу по всем категориям.

Рассмотрим пример с зарплатой. Пусть x_t=(x_t1,…,x_tk)ˊ - набор объяс­няющих переменных, т.е. первоначальная модель описывается уравнениями

y_t = x_t1β₁+…+ x_tkβ_k + ε_t = x'_tβ + ε_t, t = 1,…, n ,

где y_t - размер зарплаты t-го работника. Теперь мы хотим включить в рассмот­рение такой фактор, как наличие или отсутствие высшего образования. Введем новую бинарную переменную d, полагая d_t = 1, если в t-ом наблюдении субъект имеет высшее образование и d_t = 0 в противном случае, рассмотрим новую сис­тему y_t = x_t1β₁+…+ x_tkβ_k + d_tδ + ε_t = z'_tγ + ε_t, t = 1,…,n

где z = (x_t1,…, x_tk, d_t)', γ = (β₁,… , β_k , δ)'. С точки зрения этой модели средняя зар­плата есть x'_tβ + δ - при наличии высшего образования и x'_tβ - при его от­сутствии. Т.о., величина δ интерпретируется как среднее изменение зарплаты при переходе из одной категории (без высшего образования) в другую (с выс­шим образованием) при неизменных значениях других параметров. Применяя к системе МНК получаем оценки соответствующих коэффициентов. Тести­руя гипотезу δ = 0, проверяем предположение о несущественности в зарплате между категориями.

В англоязычной литературе по эконометрике такие переменные как d на­зываются dummy variables, что на часто переводится как «фиктивные перемен­ные». Однако это такая же «равноправная» переменная, как и любой из регрес-соров. Ее «фиктивность» состоит только в том, что она количественно описы­вает качественный признак.

Качественное различие можно формализовать с помощью любой перемен­ной принимающей два различных значения не обязательно 0 и 1. Но в совре­менной эконометрике почти всегда используют фиктивные переменные со зна­чениями 0 и 1, т.к. в этом случае интерпретация выглядит наиболее просто.

Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет не два, а несколько значений, то в принципе можно было бы ввести дискретную пере­менную, принимающую такое же количество значений. Но такую модель было бы трудно содержательно интерпретировать. Обычно используют несколько бинарных переменных. Типичным примером может служить модель исследования сезонных колебаний. Пусть y_t - объем потребления некоторого продукта в месяц t, и есть все основания считать, что потребление зависит от времени го­да. Введем три бинарные переменные d₁, d₂, d₃:

d_t1 = 1, если месяц t является зимним, d_t1 = 0 в остальных случаях;

d_t2 = 1, если месяц t является весенним, d_t2 = 0 в остальных случаях;

d_tз = 1, если месяц t является летним, d_t3 = 0 в остальных случаях; и оцениваем уравнение

y_t = β₀ + d_t1 β₁ + d_t2 β₂ + d_t3 β₃ + ε_t

Замечание. В модель не вводится четвертая бинарная переменная d₄ отно­сящаяся к осени, т.к. иначе для любого месяца t выполнялось бы тождество

d₁ + d₂ + d₃ + d₄ = 1, что означало бы линейную зависимость регрессоров и как следствие, невозможность получения МНК-оценок. По этой модели сред­немесячный объем потребления есть β₀ для осенних месяцев, β₀ + β₁ - для зимних, β₀ + β₂ - для весенних и β₀ + β₃ - для летних.