- •54. Уравнения порядка выше первого: случай понижения порядка.
- •55. Линейные уравнения порядка выше первого. Линейный дифференциальный оператор и его свойства.
- •56. Свойства решений однородного и неоднородного линейного уравнения порядка выше первого.
- •57. Линейная зависимость функции в промежутке. Понятие фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.
- •58. Определитель Вронского и его свойства.
- •59. Существование фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.
- •60. Структура общего решения линейного (однородного и неоднородного) дифференциального уравнения порядка выше первого.
- •61. Метод вариации произвольных постоянных для линейных дифференциальных уравнений второго порядка (Метод Лагранжа).
- •62. Метод вариации произвольных постоянных для линейных дифференциальных уравнений порядка выше второго.
- •63. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай различных вещественных корней.
- •64. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай различных вещественных корней характ-го уравнения. Линейная независимость решений.
- •65.Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай совпадающих вещественных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.
- •66. Лоду второго порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней характер-го уравнения. Линейная независимость решений.
- •67. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами порядка выше первого. Неоднородное уравнение со специальной правой частью.
- •I случай:
- •II случай:
- •III случай:
- •1 Случай.
- •2 Случай.
- •69. Редукция нормальной системы ду к одному уравнению высшего порядка.
- •70. Редукция одного уравнения высшего порядка к нормальной системе уравнений первого порядка.
- •71. Матричная форма записи нормальной системы линейных ду первого порядка. Вывод характеристического уравнения для однородной системы с постоянными коэффициентами.
- •2 Случай:
- •3 Случай:
54. Уравнения порядка выше первого: случай понижения порядка.
Общие понятия.
ДУ порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде: F(x;y;y';y'')=0 (1) или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: y''=f(x;y;y'). (2)
Решением ДУ (2) называется всякая функция y=p(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением ДУ (2) называется функция y=p(x;c1;c2), где c1 и c2 - не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям:
1) p(x;c1;c2) является решением ДУ для каждого фиксированного значения c1 и c2.
2) Каковы бы не были начальные условия y(x0)=y0, y'(x0)=y'0 (3), существуют единственные значения постоянных c1=C1 и c2=C2 такие, что функция y=p(x;C1;C2) является решением уравнения (2) и удовлетворяет начальным условиям (3).
Всякое решение y=p(x;C1;C2) уравнения (2) получающееся из общего решения y=p(x;c1;c2) при конкретных значениях c1=C1; c2=C2 называется частным решением.
Решения ДУ (2), записанные в виде P(x;y;c1;c2)=0, P(x;y;C1;C2)=0, называются общим и частным интегралом соответственно.
График всякого решения ДУ второго порядка называется интегральной кривой. Общее решение ДУ (2) представляет собой множество интегральных кривых, а частное решение - одну интегральную кривую этого множества, проходящую через точку (x0;y0) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом y'(x0)=y'.
Уравнения, допускающие понижения порядка.
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим 3 типа уравнений:
I. Пусть дано уравнение y''=f(x) (4). Порядок можно понизить, введя новую функцию p(x), положив y' = p(x). Тогда y''=p'(x) и получаем ДУ первого порядка: p'=f(x). Решив его, т.е. найдя функцию p=p(x), решим уравнение y'=p(x). Получим общее решение заданного уравнения (4).
Но на практике поступают иначе: порядок понижается непосредственным интегрированием уравнения.
Так как y''= (y')'= , уравнение (4) можно записать в виде Тогда, интегрируя уравнение y''=f(x), получаем: y'= , или y'=p1(x)+c1. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: - общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение то проинтегрировав его последовательно n раз, найдем общее решение уравнения: .
II. Пусть дано уравнение y''=f(x;y')(5) не содержащее явно искомой функции y. Обозначим y'=p, где p=p(x) - новая неизвестная функция. Тогда y''=p' и уравнение (5) принимает вид p'=f(x;p). Пусть p=g(x;c1) - общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию p на y', получаем ДУ: y'=g(x;c1). Оно имеет вид (4). Для отыскания y достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (5) будет иметь вид y= .
Частным случаем уравнения (5) является уравнение y''=f(y') (6) не содержащее также и независимую переменную x. Оно интегрируется тем же способом y'=p(x), y''= . Получаем уравнение p'=f(p) c разделяющимися переменными.
Если задано уравнение вида F(x; (7), которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на k единиц, положив =p(x). Тогда и уравнение (7) примет вид F(x;p;p';...; )=0.
III. Рассмотрим уравнение y''=f(y;y')(8), которое не содержит явно независимой переменной x.
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию p=p(y), зависящую от переменной y, полагая y'=p. Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что p=p(y(x)): , т.е. y''=p'*p. Теперь уравнение (8) запишется в виде p*p'=f(y;p). Пусть p=g(y;c1) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию p(y) на y', получаем y'=g(y;c1) - ДУ с разделяющимися переменными.
Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (8): .
Частный случай уравнения (8) y''=f(y) решается аналогично.