- •Бакалаврская выпускная квалификационная работа «Взаимодействие встречных импульсов из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах»
- •1. Введение
- •2. Уравнения динамики поля встречных импульсов при их взаимодействии в нелинейной среде
- •3. Частное решение уравнений для случая взаимодействия встречных низко- и высокоинтенсивного импульсов
- •4. Генерация излучения на кратных частотах при столкновении импульсов из малого числа колебаний разного спектрального состава.
- •Заключение
3. Частное решение уравнений для случая взаимодействия встречных низко- и высокоинтенсивного импульсов
Выведенные уравнения (11) применим для анализа частного случая взаимодействия полей низко- ( ) и высокоинтенсивного ( ) импульсов, для которых уравнения (11) упрощаются и принимают вид:
|
(14а) |
(14б) |
Как видно из системы (14), мы предполагаем, что низкоинтенсивная волна не влияет на распространение высокоинтенсивной, а для нее самой нелинейный характер распространения определяется только сильным полем встречной волны.
Решения уравнения (14б), описывающие различные режимы самовоздействия излучения с широким спектром, включая импульсы из малого числа колебаний светового поля, изучались во многих работах (смотри, например, их обзоры в [6,10]). Ниже, при определении решений уравнения (14а) для низкоинтенсивной волны динамику поля высокоинтенсивной волны будем полагать известной.
Для анализа решений уравнения (14а) проведем его нормировку. Введем новые переменные где и - максимальные значения напряженностей полей прямой и встречных волн до их взаимодействия, - исходная центральная частота низкоинтенсивной волны . В этих переменных уравнение (14а) принимает вид:
(15)
где ; характеризует дисперсию показателя преломления оптической среды; имеет смысл нелинейной добавки к ее показателю преломления (здесь - коэффициент нелинейного показателя преломления, а - интенсивность излучения) в поле монохроматической волны с амплитудой ; - частота излучения, при которой групповая дисперсия в среде равняется нулю [1].
Отметим, что для введенных параметров задачи выполняются неравенства:
|
(16а) |
(16б) |
первое из которых прямо следует из нерезонансного приближения (5), а второе заложено в исходном уравнении (1), в котором нелинейность поляризованности изотропной среды рассматривается в наинизшем кубичном по полю приближении.
В качестве примера вещества, в котором взаимодействуют два встречных световых импульса, рассмотрим кварцевое стекло с характеристиками [10,11]. При центральной длине волны низкоинтенсивного излучения для него имеем . Значение , еще вполне удовлетворяющее неравенству (16а), реализуется при интенсивности . Впрочем, при даже для импульсов из малого числа колебаний возникает необходимость кроме безинерционной кубичной нелинейности учитывать и накапливающуюся плазменную нелинейность диэлектрической среды [4,14].
Ниже ограничимся анлизом решений нормированного уравнения (15) для случая, когда коэффициент при нелинейном слагаемом существенно больше коэффициентов при дисперсионных слагаемых, т.е., например, для излучения со спектром в области нормальной групповой дисперсии – при , существенно большим единицы. Для кварцевого стекла в поле излучения с центральной длиной волны и интенсивностью выполняется оценка .
Когда дисперсионными эффектами по сравнению с нелинейными в процессе взаимодействия встречных волн можно принебречь, уравнение (15) упрощается до вида:
(17)
в котором знак «~» опущен. Переходя в сопровождающую систему координат и применяя метод последовательных приближений Пикара [15], в первой итерации несложно получить приближенное решение (17) в виде:
(18)
где - решение линеаризированного уравнения (17) вида светового импульса, неизменяющегося по форме при распространении в бездисперсионной среде, - заданное сильное поле встречного импульса, - координата диэлектрической среды, начиная с которой световые импульсы, распространяющиеся навстречу друг другу, во времени начинают пересекаться (см. рис. 1а).