3. Частное решение уравнений для случая взаимодействия встречных низко- и высокоинтенсивного импульсов
Выведенные
уравнения (11) применим для анализа
частного случая взаимодействия полей
низко- (
)
и высокоинтенсивного (
)
импульсов, для которых уравнения (11)
упрощаются и принимают вид:
|
(14а) |
(14б) |
Как видно из системы (14), мы предполагаем, что низкоинтенсивная волна не влияет на распространение высокоинтенсивной, а для нее самой нелинейный характер распространения определяется только сильным полем встречной волны.
Решения
уравнения (14б), описывающие различные
режимы самовоздействия излучения с
широким спектром, включая импульсы из
малого числа колебаний светового поля,
изучались во многих работах (смотри,
например, их обзоры в [6,10]). Ниже, при
определении решений уравнения (14а) для
низкоинтенсивной волны динамику поля
высокоинтенсивной волны
будем полагать известной.
Для
анализа решений уравнения (14а) проведем
его нормировку. Введем новые переменные
где
и
- максимальные значения напряженностей
полей прямой и встречных волн до их
взаимодействия,
- исходная центральная частота
низкоинтенсивной волны
.
В этих переменных уравнение (14а) принимает
вид:
(15)
где
;
характеризует дисперсию показателя
преломления оптической среды;
имеет смысл нелинейной добавки к ее
показателю преломления
(здесь
- коэффициент нелинейного показателя
преломления, а
- интенсивность излучения)
в поле монохроматической волны с
амплитудой
;
- частота излучения, при которой групповая
дисперсия в среде равняется нулю [1].
Отметим, что для введенных параметров задачи выполняются неравенства:
|
(16а) |
(16б) |
первое из которых прямо следует из нерезонансного приближения (5), а второе заложено в исходном уравнении (1), в котором нелинейность поляризованности изотропной среды рассматривается в наинизшем кубичном по полю приближении.
В
качестве примера вещества, в котором
взаимодействуют два встречных световых
импульса, рассмотрим кварцевое стекло
с характеристиками
[10,11]. При центральной длине волны
низкоинтенсивного излучения
для него имеем
.
Значение
,
еще вполне удовлетворяющее неравенству
(16а), реализуется при интенсивности
.
Впрочем, при
даже для импульсов из малого числа
колебаний возникает необходимость
кроме безинерционной кубичной нелинейности
учитывать и накапливающуюся плазменную
нелинейность диэлектрической среды
[4,14].
Ниже
ограничимся анлизом решений нормированного
уравнения (15) для случая, когда коэффициент
при нелинейном слагаемом
существенно больше коэффициентов при
дисперсионных слагаемых, т.е., например,
для излучения со спектром в области
нормальной групповой дисперсии – при
,
существенно большим единицы. Для
кварцевого стекла в поле излучения с
центральной длиной волны
и интенсивностью
выполняется оценка
.
Когда дисперсионными эффектами по сравнению с нелинейными в процессе взаимодействия встречных волн можно принебречь, уравнение (15) упрощается до вида:
(17)
в
котором знак «~» опущен. Переходя в
сопровождающую систему координат
и
применяя метод последовательных
приближений Пикара [15], в первой итерации
несложно получить приближенное решение
(17) в виде:
(18)
где
- решение линеаризированного уравнения
(17) вида светового импульса, неизменяющегося
по форме при распространении в
бездисперсионной среде,
- заданное сильное поле встречного
импульса,
- координата диэлектрической среды,
начиная с которой световые импульсы,
распространяющиеся навстречу друг
другу, во времени начинают пересекаться
(см. рис. 1а).