Дополнительный член формулы Ньютона.

Замечание 4. Конечноразностный многочлен Ньютона является одной из форм представления интерполяционного многочлена Лагранжа, поэтому справедливо представление остаточного члена в форме Лагранжа.

То есть, многочлен w(x) - вспомогательный многочлен формулы Лагран­жа,с учетом того, что m=n, преобразуется к (новой переменной) следую­щим образом: w(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_m) = , тогда

- для первой интерполяционной формулы Ньютона,

- для второй интерполяционной формулы Ньютона. В итоге точное равенство имеет вид: f(x)=P_n(x+qh)+R_n(x+qh).

§9. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита.

Можно поставить более общую задачу интерполирования, задав в узлах x₀, x_{1 ,}…, x_m, кроме значений самой функции f, также и значения последовательных её производных:

(1)

где n_0, n₁,…, n_m- неотрицательные целые числа. Общее число этих условий равно (n₀+1)+(n₁+1)+…+(n_m+1)=N.

Задача вычисления функции f(x) при любом отличном от узлов значении x на [a, b] с использованием всех данных (1) понимается так: имеется многочлен H(x) наинизшей степени, который в каждом узле x_i, вместе со своими производными до порядка n_i включительно, принимает те же значения, что и сама функция f и её соответствующие производные, а затем приближенно предполагается, что f(x)@H(x) (2).Узлы x_i называются узлами интерполирования соответственно кратности n_i+1.

Можно доказать существование и единственность многочлена H(x) степени не выше N-1, удовлетворяющего всем поставленным условиям. Его называют интерполяционным многочленом Эрмита, а формулу (2)-интерполяционной формулой Эрмита.

Замечание 1. Если все n_i положить равными 0, то получится формула Лагранжа f(x)@L(x).

Замечание 2. Если взять один лишь узел x₀, но кратности (n+1) , т.е. от многочлена не выше n-й степени T(x) потребовать, чтобы в точке x₀ его значение и значения n его производных совпадали, соответственно, со значениями самой функции f(x) и её производных, то получится многочлен Тейлора.

Таким образом, формула Лагранжа f(x)@L(x) и приближенная формула f(x)@T(x) (многочлен Тейлора) являются частными случаями интерполяционной формулы Эрмита.

Дополнительный член формулы (2), восстанавливающий её точность, выводится с помощью рассуждений, аналогичных приведённым выше. Рассмотрим многочлен N-ой степени:

и положим для a£ z£ b

Ф(z)=f(z)-H(z)-KW(z), где K=const.

Если предположить, что функция f(z) на отрезке [a, b] имеет N последовательных производных, то это будет справедливо и для Ф(z). Фиксируя значения z=x, отличное от узлов, мы выберем постоянную К так:

(W(х)¹0) (3)

при таком выборе функция Ф(х) обращается в 0 и при z=x.Всего она будет иметь N+1 корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Определение. Число a называется корнем р-ой кратности функции Ф(z), если a обращает в 0 вместе с Ф(z) и р-1 её производных.

Применяя последовательно теорему Ролля как и выше (с тем лишь усложнением, что каждый кратный корень функции Ф(z) ещё в течение нескольких шагов будет фигурировать и как корень её последовательных производных), окончательно придём к утверждению, что в некоторой точке x обратится в 0 производная Ф^(N)(z). Отсюда и в виду (3)

(4).

7