Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
§22. Понятие о численном решении задачи Коши.
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной имеет вид
(1).
Решением дифференциального уравнения называется функция j(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество:
График решения называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция при любом значении произвольной постоянной С.
Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
(2).
Пару чисел называют начальными данными. Решение задачи Коши называют частным решением уравнения (1) при условии(2).
y
y0
O x0 x |
пример: частным решением задачи Коши является функция . Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку . |
Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция f(x, y)-правая часть дифференциального уравнения (1)-непрерывная вместе со своей частной производной в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных задача Коши (1) - (2) имеет единственное решение .
При выполнении условий теоремы через точку на плоскости проходит единственная интегральная кривая. Будем считать, что условия теоремы существования и единственности выполняются. Численное решение задачи Коши (1)-(2) состоит в том, чтобы искомое решение получить в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента x на некотором отрезке (a, b): а=x0, x1, x2,…,xm=b (3).
Точки (3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке [a, b]. Будем использовать равномерную сетку с шагом h. или . Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках xi обозначим yi; таким образом,
Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть
Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка [a, b] оценивается величиной , то есть расстоянием между векторами приближённого решения (y0, y1, … , ym) и точного решения на сетке по m-норме.
Определение. численный метод имеет p-й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h: d=chp, p>0,где c-некоторая положительная постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода.
В данном случае очевидно, что когда h cтремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.