Программа

итогового квалификационного экзамена

для бакалавров

(направление 010200 – Математика. Прикладная математика)

2011-2012 учебный год

Структура программы:

Программа государственного экзамена по направлению 010200 – Математика. Прикладная математика определяется факультетом на основании методических рекомендаций и соответствующей примерной программы, разработанных НМС по математике и механике УМО университетов, Положения об итоговой государственной аттестации выпускников высших учебных заведений, утвержденного Минобразованием России, и Государственного образовательного стандарта по направлению 010200 – Математика. Прикладная математика.

1. В про­грам­ме пред­став­ле­ны раз­де­лы по блоку общепрофессиональные дисциплины:

ал­геб­ра, ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз, аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния, функциональный анализ, тео­рия функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, ма­те­ма­ти­че­ская ло­ги­ка и тео­рия ал­го­рит­мов, стохастический анализ.

2. Об­щее ко­ли­че­ст­во во­про­сов про­грам­мы – 36.

3. Ка­ж­дый би­лет со­дер­жит 2 теоретических во­про­са и 1 задачу по теме, входящей в программу итогового квалификационного экзамена.

4. В ка­че­ст­ве во­про­сов фор­му­ли­руются ос­нов­ные тео­ре­ти­че­ские по­ло­же­ния, пред­по­ла­гаю­щие их раз­вер­ну­тое обос­но­ва­ние при от­ве­те.

5. Фор­му­ли­ров­ка ка­ж­до­го во­про­са чет­ко оп­ре­де­ляет рам­ки и объ­ем со­дер­жа­ния от­ве­та.

6. В при­ло­же­нии по ка­ж­до­му разделу ука­зан ре­ко­мен­дуе­мый ис­точ­ник, дос­туп­ный для ис­поль­зо­ва­ния в про­цес­се под­го­тов­ки к эк­за­ме­ну.

Требования к профессиональной подготовленности бакалавра.

Бакалавр математики подготовлен преимущественно к выполнению исследовательской деятельности, в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления; программно-управленческому обеспечению научно-исследовательской, проектно конструкторской и эксплуатационно-управленческой деятельности.

Бакалавр математики должен знать и уметь использовать:

- основные понятия и методы ал­геб­ры, ма­те­ма­ти­че­ского ана­лиза, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, функционального анализа, тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го, ма­те­ма­ти­че­ской ло­ги­ки и тео­рии ал­го­рит­мов, стохастического анализа;

- математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

- вероятностные модели для конкретных процессов и явлений, проводить необходимые расчеты в рамках построенной модели;

- современные методы программирования и методы разработки эффективных алгоритмов решения прикладных задач.

Содержание программы:

Алгебра

1. Понятие группы. Группа ортогональных матриц. Группа комплексных корней ой степени из 1.

2. Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида. Критерий взаимной простоты двух многочленов.

3. Понятие линейного пространства и его базиса. Линейные преобразования. Собственные значения и собственные векторы линейных преобразований.

4. Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений. Ядро линейного оператора и его базис.

5. Положительные определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

6. Симметрические преобразования евклидовых пространств.

Математический анализ

7. Предел числовой последовательности. Основные свойства: единственность предела; ограниченность сходящейся последовательности; сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности. Предел и арифметические операции. Принцип Больцано  Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости числовой последовательности. Предел монотонной последовательности.

8. Предел и непрерывность функции. Эквивалентные определения (по Коши и по Гейне). Основные свойства. Связь с арифметическими операциями. Непрерывность композиции. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.

9. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функции непрерывной на отрезке. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Непрерывность обратной функции.

10. Дифференцируемость числовой функции. Производная и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл производной. Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцируемость композиции и обратной функции.

11. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа о дифференцируемых функциях. Необходимые и достаточные условия экстремума функции в терминах производной.

12. Интеграл Римана. Основные свойства интеграла: линейность, монотонность, аддитивность. Классы функций интегрируемых по Риману. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в интеграле Римана и интегрирование по частям в интеграле Римана.

13. Первообразная и неопределенный интеграл. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о существовании первообразной. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределённом интеграле.

14. Числовые ряды. Понятие сходимости числового ряда Необходимое условие сходимости. Признаки сравнения, Коши и Даламбера сходимости положительных рядов. Признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда.

15. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности непрерывных функций и суммы равномерно сходящегося функционального ряда, образованного непрерывными функциями. Предельный переход под знаком интеграла. Почленное интегрирование функционального ряда. Дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.

16. Степенные ряды. Теорема Коши  Адамара о структуре области сходимости степенного ряда. Радиус и интервал сходимости. Равномерная сходимость степенных рядов. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда на отрезке, содержащемся в интервале сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

17. Ряды Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля для тригонометрических рядов.