- •Тема: Предмет теории вероятностей (тв), ее значение для экономической науки. Случайные события. Алгебра событий.
- •§ 1. Элементы комбинаторики.
- •§ 2. Предмет теории вероятностей.
- •§ 3. Краткая историческая справка.
- •§ 4. Виды случайных событий.
- •§ 5. Классическое определение вероятности.
- •§ 6. Относительная частота. Статистическая вероятность.
- •Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •§1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
- •§ 2. Полная группа событий.
- •§ 3. Теорема умножения вероятностей.
- •§ 4. Независимые события. Теорема умножения независимых событий.
- •§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •§ 6. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •§ 7. Формула полной вероятности.
- •§ 8. Формула Бейеса.
- •Тема: Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •§ 1. Формула Бернулли.
- •§ 2. Локальная теорема Лапласа.
- •§ 3. Интегральная теорема Лапласа.
- •Тема: Случайные величины.
- •§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины (св).
- •§ 2. Законы распределения вероятностей дсв.
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •§ 4. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •Тема: Закон больших чисел (самостоятельно).
- •§ 1. Неравенство Чебышева. (рассмотреть самостоятельно)
- •§ 2. Теорема Чебышева.
- •Тема. Функция распределения вероятностей св.
- •§ 1. Функция распределения и ее свойства.
- •§ 2. График функции распределения.
- •§ 3. Плотность распределения вероятностей нсв.
- •Свойства плотности распределения.
- •§ 4. Законы распределения вероятностей.
- •§ 5. Нормальное распределение. Числовые характеристики нсв.
- •§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения
§ 6. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Определение 1. Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.
Пример 1. А – появление 4-х очков при бросании игральной кости; В появление четного числа очков. А и В – совместные события.
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий А и В равна:
(1)
Доказать самостоятельно.
З
А
В
Замечание 2. Если событие А и В несовместны, то
и - эту формулу уже рассмотрели.
Пример 2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий: . Найти вероятность попадания при одном залпе из обоих орудий хотя бы одним из них.
Решение:
.
Можно решить иначе, т.к. события А и В независимые, то искомая вероятность: .
§ 7. Формула полной вероятности.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий: , которые образуют полную группу. Известны вероятности: , условные вероятности: .
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу находится по формуле:
- это формула полной вероятности.
Пример. Имеются два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная 0,8; а второго: 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь из взятого наудачу набора стандартная.
Решение. Событие А – извлеченная деталь стандартная.
1) Деталь можно извлечь либо из 1-го набора (событие В1), либо из второго (событие В2) .
2) Вероятность того, что деталь извлечена из 1-го набора: и того, что она извлечена из 2-го: .
3) Условная вероятность того, что из 1-го набора извлечена стандартная деталь: ; а условная вероятность того, что из 2-го набора вынута стандартная деталь .
4) По формуле полной вероятности:
§ 8. Формула Бейеса.
Пусть событие А может поступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Т к. неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.
По формуле полной вероятности получим:
. (*)
Пусть проведено испытание и событие А произошло, как при этом изменились вероятности гипотез; т.е. необходимо найти условные вероятности: .
Вывести следующую формулу самостоятельно:
Эти формулы называются формулами Бейеса (английский математик, вывел их в 1764г.). В предыдущем примере:
Тема: Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
§ 1. Формула Бернулли.
Если производится несколько испытаний причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исхода других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно А.
В разных независимых испытаниях событие А, может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность.
Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.
Под сложным событием будем понимать совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может либо появится, либо не появится. Вероятность события А в каждом испытании равна р. Тогда вероятность ненаступления события А в каждом испытаний тоже постоянна и равна: .
Необходимо вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно k раз и не произойдет n – k раз. Обозначим эту вероятность . Эта вероятность находится по формуле Бернулли:
, (вывести самостоятельно).
или (*)
Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение суток не превысит установленной нормы равна . Найти вероятность того, что в течение ближайших 6 суток расход электроэнергии в течение 4-х суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода в каждые сутки тоже постоянна: . Искомая вероятность по формуле Бернулли: .
Замечание. При больших значениях n пользоваться формулой (*) трудно. Вычисления будут трудоемкими. Поэтому существуют другие формулы.