![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема: Предмет теории вероятностей (тв), ее значение для экономической науки. Случайные события. Алгебра событий.
- •§ 1. Элементы комбинаторики.
- •§ 2. Предмет теории вероятностей.
- •§ 3. Краткая историческая справка.
- •§ 4. Виды случайных событий.
- •§ 5. Классическое определение вероятности.
- •§ 6. Относительная частота. Статистическая вероятность.
- •Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •§1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
- •§ 2. Полная группа событий.
- •§ 3. Теорема умножения вероятностей.
- •§ 4. Независимые события. Теорема умножения независимых событий.
- •§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события.
- •§ 6. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
- •§ 7. Формула полной вероятности.
- •§ 8. Формула Бейеса.
- •Тема: Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •§ 1. Формула Бернулли.
- •§ 2. Локальная теорема Лапласа.
- •§ 3. Интегральная теорема Лапласа.
- •Тема: Случайные величины.
- •§ 1. Дискретные и непрерывные случайные величины (св).
- •§ 2. Законы распределения вероятностей дсв.
- •§ 3. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •§ 4. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •Тема: Закон больших чисел (самостоятельно).
- •§ 1. Неравенство Чебышева. (рассмотреть самостоятельно)
- •§ 2. Теорема Чебышева.
- •Тема. Функция распределения вероятностей св.
- •§ 1. Функция распределения и ее свойства.
- •§ 2. График функции распределения.
- •§ 3. Плотность распределения вероятностей нсв.
- •Свойства плотности распределения.
- •§ 4. Законы распределения вероятностей.
- •§ 5. Нормальное распределение. Числовые характеристики нсв.
- •§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения
§ 4. Независимые события. Теорема умножения независимых событий.
Определение
1. Событие В
называют независимым от события А,
если появление события А
не изменяет вероятности события В,
т.е. если условная вероятность события
В
равна его безусловной вероятности:
(5)
Подставим (5) в
(4), т.е. в формулу:
,
получим:
,
отсюда следует, что событие А
не зависит от события В.
Вывод: Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения имеет вид:
(6)
– это условие принимается за определение
независимых событий.
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того поразило ли цель другое орудие. События «1-е орудие поразило цель» и «2-е орудие поразило цель» независимы.
Пример 1. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели 1-м орудием (событие A): P(A) = 0,8, а вторым (событие В): P(B) = 0,7. События А и В независимые и по теореме умножения имеем: P(AB) = 0,8·0,7 = 0,56.
Замечание.
Если события А
и В
независимы, то независимы также события:
А
и
;
и В;
и
.
Определение 2. Несколько событий называют попарно-независимыми, если каждые два из них независимы.
Определение 3. Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Следствие из теоремы умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих событий:
.
Пример 2. Найти вероятность совместного появления герба (орла) при одном бросании двух монет.
— Вероятность
появления герба первой монеты (событие
А):
.
— Вероятность
появления герба второй монеты (событие
В):
.
События А
и В
независимые, поэтому:
.
Пример 3. Имеется 3 ящика, в каждом по 10 деталей. В 1-м ящике 8, во втором 7, в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся стандартными.
Решение.
Из 1-го ящика вынули
стандартную деталь (событие А):
.
Из 2-го ящика вынули
стандартную деталь (событие В):
.
Из 3-го ящика вынули
стандартную деталь (событие С):
.
Вероятность того, что все 3 детали окажутся стандартными:
.
§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема.
Вероятность появления хотя бы одного
из событий:
,
независимых в совокупности равна
разности между единицей и произведением
вероятностей противоположных событий
:
,
где А
событие, состоящее в появлении хотя бы
одного из событии
;
- вероятности противоположных событии:
.
Следствие:
Если события
имеют одинаковую вероятность равную
P,
то вероятность появления хотя бы одного
из них:
.
(
,
вероятности противоположных событий
).
Пример
1.
Вероятности попадания в цель при стрельбе
из 3-х орудий:
;
;
.
Найти вероятность хотя бы одного
попадания (события А)
при одном залпе из всех орудий.
Решение.
Пусть
- попадания 1-го, 2-го и 3-го орудий
соответственно, эти события независимы.
Вероятности противоположных событий:
;
;
.
Искомая вероятность:
.