§ 4. Дисперсия дискретной случайной величины.

Определение 6. Дисперсией (рассеянием) ДСВ называется матема-тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Пусть случайная величина задана законом распределения:

Х	х1	х2	…	хn
Р	p1	p2	…	pn

Тогда .

Пусть , тогда

.

Из определения следует, что дисперсия ДСВ есть неслучайная величина – постоянная величина.

Пример. Найти дисперсию СВ Х, которая задана законом распределения:

Х	1	2	5
Р	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание:

.

.

Вычисление дисперсии при большом числе n значений переменной удобно проводить в таблице:

i	xi	pi	xipi	xi – μ	(xi – μ)2	(xi – μ)2·pi
1	x1	p1	x1p1	x1– μ	(x1– μ)2	(x1– μ)2·p1
2	x2	p2	x2p2	x2– μ	(x2– μ)2	(x2– μ)2·p2
…	…	…	…	…	…	…
n	xn	pn	xnpn	xn– μ	(xn– μ)2	(xn– μ)2·pn
∑	∑xi	∑pi	∑xipi	–	–	∑(xi – μ)2·pi
						D(X)

Для примера таблица имеет вид:

i	xi	pi	xipi	xi – μ	(xi – μ)2	(xi – μ)2·pi
1	1	0,3	0,3	-1,3	1,69	0,507
2	2	0,5	1,0	-0,3	0,09	0,045
3	5	0,2	1,0	2,7	7,29	1,458
						D(X)=2,01

Свойства дисперсии (доказать самостоятельно):

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX) = C²D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно-независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X + Y + Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D(X – Y) = D(X) + D(Y).

Найдем дисперсию числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях?

Ответ дает теорема (самостоятельно).

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

(p – вероятность появления, q – непоявления события А)

Пример. Производится 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию CВ Х – числа появления в этих испытаниях.

Решение. ; ;

.

Определение 7. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

.

Определение 8. Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины Х^k:

.

Тогда: , .

Определение 9. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины :

.

Например: , .

Центральный момент 1-го порядка равен 0, 2-го порядка – равен дисперсии CВ: (на практике: Гмурман, стр. 100).