65

2. Моделирование сложного теплообмена в камерной печи периодического действия

Камерные печи весьма широко распространены в различных отраслях промышленности и применяются, главным образом, для выполнения таких операций термообработки, которые связаны со значительной выдержкой и медленным охлаждением.

Учитывая, что значительная часть цикла термической обработки происходит при относительно невысоких температурах, важную роль для нагрева металла играет конвективная составляющая сложного теплообмена.

Зачастую при разработке математических моделей теплообмена в печах конвективную теплоотдачу к нагреваемому металлу учитывают при помощи формулы Ньютона–Рихмана /166, 167 и др./:

,

(2.1)

где Т_п — температура печи, К; T_i — температура i поверхности (кладки, металла), К; α — коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м²×К).

Значение коэффициента теплоотдачи в формуле (2.1) вычисляется из критериальных зависимостей вида Nu=Nu(Re, Pr), которые получены экспериментально. Однако данный подход может вызывать значительные погрешности при расчете вследствие неопределенности понятия «температура печи» и неравномерности распределения коэффициента теплоотдачи по поверхности металла.

Еще одним ограничением применения в математическом моделировании такого подхода является порой полное отсутствие информации о зависимостях для коэффициента теплоотдачи конвекцией. В данном случае прибегают к методам «на глазок», а значит, к сознательно вносимым в расчет погрешностям.

По-другому обстоит дело с методом учета конвекции, связанным с численным решением уравнений, описывающих поля скоростей, температур и концентраций в потоке печных газов. Использование такого подхода, безусловно, приведет к значительному усложнению постановки задачи, методов ее решения и увеличению времени счета. Однако результатом решения такой задачи будет полная информация о характере движения газов, распределении давления, температуры, концентраций, что весьма важно для правильной организации не только теплового, но и гидродинамического режимов работы теплового агрегата. Кроме того, поля температур, как и поля концентраций компонентов газовой атмосферы в камере печи, определяющие протекание процесса радиационного теплообмена, формируются в результате конвективного переноса и процесса горения, то есть зависят от характера движения газов.

Радиационный перенос описывается интегро-дифференциальным уравнением, которое в сером приближении имеет вид /128/:

(2.2)

где β(s) — средний по всем длинам волн коэффициент ослабления, м^-1; I(s,Ω) — яркость излучения, Вт/(м²·ср); s — длина пути луча; Ω — направление излучения; ω — альбедо, представляющее собой отношение коэффициента рассеяния к коэффициенту ослабления; n — показатель преломления среды; — константа Стефана-Больцмана, 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴); T — абсолютная температура, К; — индикатриса рассеяния; — тождественно равно cosθ₀; θ₀ — угол между падающим и рассеянным лучами; — телесный угол, ср.

Решение уравнения (2.2) является крайне затруднительным. Имеется ряд приближенных методов, описанных, например, в работе /128/, которые позволяют рассчитывать радиационный перенос в соответствии с уравнением (2.2). Одним из них является метод сферических гармоник или P_N-приближение.

P_N-приближение основывается на предположении о том, что индикатриса рассеяния и интенсивность излучения могут быть представлены в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра с неизвестными коэффициентами Ψ_N, где N — число первых членов ряда. Подставляя эти ряды в уравнение (2.2) получают систему из N+1 обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно коэффициентов Ψ_N. Решив эту систему уравнений, можно определить интенсивностьь излучения и плотность потока результирующего излучения /128 и др./.

При практических расчетах используют относительно простое P₁‑приближение, ограничиваясь для вывода уравнения переноса первыми членами рядов Лежандра. В терминах теории РТО, используемой в теплофизических расчетах, данное уравнение имеет следующий вид:

,

(2.3)

здесь a, s — соответственно коэффициенты поглощения и рассеяния на единицу длины, м^-1; q_пад — интегральная (по всем длинам волн) плотность потока падающего излучения, Вт/м²; q⁰ — интегральная (по всем длинам волн) плотность потока собственного излучения АЧТ, Вт/м².

При этом плотность потока результирующего излучения находится следующим образом:

.

(2.4)

Частным случаем P₁-приближения является диффузионная модель Росселанда. Кроме того, как это показано в /128/, метод моментов, метод дискретных ординат и метод сферических гармоник эквивалентны, т.е. частным случаем каждого из этих методов является диффузионное P₁‑приближение.

Известно, что диффузионное приближение плохо описывает радиационный перенос вблизи твердых границ и совсем неприменимо для расчетов РТО в лучепрозрачных средах. Модификация уравнения (2.3) путем введения дополнительного коэффициента, о чем речь пойдет ниже, позволяет получить решение в точности (с учетом заданной погрешности) совпадающим с аналитическим в случае переноса излучения между двумя бесконечными параллельными пластинами (цилиндрами), пространство между которыми заполнено лучепрозрачной средой, а также приемлемые результаты в более сложных случаях. Данная модель радиационного переноса получила название Immersol /168/.

Суть модели заключается в следующем. Уравнение переноса излучения в модифицированном P₁‑приближении (модель Immersol) в нерассеивающей среде записывается в виде:

(2.5)

где — коэффициент «радиационной» теплопроводности, Вт/(м·К); T — абсолютная температура, найденная из уравнения (2,24), К; T_r — «радиационная» температура, К; a — коэффициент поглощения газовой среды, м^-1, σ₀ — постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67·10^-8 Вт·м^-2·К^-4.

Соотношение (2.5) имеет вид аналогичный виду уравнения для стационарной теплопроводности с источниковым слагаемым .

Коэффициент «радиационной» теплопроводности рассчитывается следующим образом:

,

(2.6)

здесь L — расстояние между ближайшими твердыми поверхностями, м.

«Радиационная» температура T_r в соответствии с /168/ определяется из соотношения:

.

(2.7)

Физический смысл «радиационной» температуры можно понять, воспользовавшись работами /169, 170/, в соответствии результатами которых, температура спая термопары, установленной в данной точке рабочего пространства печи, находится из соотношения, аналогичного (2.7).

Для непрозрачных твердых тел коэффициент поглощения является очень большой величиной, а значит коэффициент «радиационной» теплопроводности стремится к нулю. Очевидно, что в этом случае значение «радиационной» температуры T_r стремится к значению температуры T.

Процедура, связанная с решением однотипных уравнений как для распределения температуры в потоке продуктов сгорания, так и для поля температуры внутри твердых тел, существенно упрощает моделирование сопряженного теплообмена в печи.

Видно, что отличие модели Immersol от описанного выше P₁-приближения заключается лишь в наличии коэффициента 1/L в уравнении (2.6).

В настоящей главе ставится задача разработки математической модели нестационарного сложного сопряженного теплообмена в камерной печи периодического действия путем численного решения дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения импульса, массы и энергии, с использованием одной из современных моделей турбулентности и современного итерационного алгоритма. Для выполнения поставленной задачи используется известный программно-вычислительный комплекс PHOENICS, а адекватность модели должна быть проверена путем сопоставления с опубликованными экспериментальными данными. Тем самым будет проведено тестирование комплекса PHOENICS с точки зрения возможностей его использования для построения достаточно совершенных математических моделей, ориентированных на решение сложных задач металлургической теплотехники.