Выражение элементарных функций через операции и, или, не.
1.
Операция
запрета.
x1
x2
= x1·x2.
(1.3)
Для доказательства этого и последующих соотношений будем в левую и правую части выражения отдельные наборы значений аргументов и проверять справедливость равенства.
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
x2 |
x1·x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2.
Сумма
по модулю 2. x1
x2
= x1·x2
V x1·x2
= (x1Vx2)·(
x1
V x2).
(1.4)
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
|
|
V |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
x2 |
|
|
· |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3.
Функция Вебба (операция ИЛИ - НЕ).
x1
x2
=
(1.5)
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
x1 v x2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
4.
Логическая
равнозначность.
x1~x2
=
=
x1·x2
V x1·x2
= (x1Vx2)·(x1Vx2)
(1.6)
Справедливость первого равенства может быть установлена непосредственно по таблицам истинности функций логической равнозначности и суммы по модулю 2, а последующих равенств - инвертированием левой и правой частей выражения (1.4) и преобразованием правой части по формулам де Моргана.
5.
Импликация.
x1
x2
= x1
V x2.
(1.7)
x1 |
x2 |
x1 x2 |
|
x1 |
x2 |
x1 |
x1 V x2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
6. Функция Шеффера (операция И - НЕ). x1|x2 =
x1 |
x2 |
x1|x2 |
|
x1 |
x2 |
x1·x2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |