- •Оглавление
- •Численное решение итерационным методом
- •2D уравнения теплопроводности
- •Разработка фрагмента исходного кода для численного решения итерационным методом 2d уравнения теплопроводности
- •Интерфейс графических устройств gdi
- •Фрагмент функции void Child_Rgn_Zg_OnPaint(hwnd hwnd…)
- •Входящие программы
- •Список литературы
Оглавление
Численное решение итерационным методом 2
2D уравнения теплопроводности 2
Разработка фрагмента исходного кода для численного решения итерационным методом 2D уравнения теплопроводности 4
Интерфейс графических устройств GDI 6
Фрагмент функции void Child_Rgn_Zg_OnPaint(HWND hwnd…) 14
Входящие программы 21
Список литературы 23
Численное решение итерационным методом
2D уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности – нестационарное (изменяющееся со временем) дифференциальное уравнение в частных производных, для 2D случая имеет следующий вид:
, (1)
где
– нестационарное 2D распределение температуры,
– коэффициент теплопроводности материала.
Введём в функциональном 3D пространстве сетку с шагами . Для удобства вычислений – равномерную по пространственным переменным : . В основе простейшего итерационного конечно-разностного метода решения дифференциальных уравнений в частных производных лежит замена:
в правой части (1) вторых производных центральными разностями по ;
в левой части (1) первой производной разностью вперёд по .
. (2)
Конечно-разностное уравнение (2) преобразуем в форму, удобную для итерационного решения:
. (3)
Форма (3) записи уравнения теплопроводности (1) и (2) позволяет находить следующее по времени значение исходя из известных на данный момент текущих значений . Для итерационного процесса необходимо задать начальные и граничные условия.
Начальные условия определяют начальное 2D распределение значений при . Например, в начальный момент времени точка с координатами разогрета некоторым внешним воздействием (удар микрометеорита по корпусу КА, точечная подсветка мощным импульсом лазерного излучения, монтажник точечно задел горячим паяльником и т.п.) до некоторой температуры:
. (4)
Граничные условия определяют ситуацию на границах 2D диапазона вычислений
(5)
Пусть внешнее воздействие в заданной точке привело к разогреву до температуры:
,
а температура на границах диапазона вычислений равна температуре окружающей среды, для простоты – комнатной температуре:
.
Имея форму итерационной записи (3), начальные (4) и граничные условия (5), можно найти решение уравнения (1), то есть, рассчитать динамику изменения 2D распределения температуры для последовательных моментов времени .
Значение коэффициента теплопроводности является табличной величиной и берётся из физических справочников. Имеет размерность . Вообще-то, коэффициент теплопроводности является функцией температуры: , но для упрощения расчётов примем, что коэффициент теплопроводности является константой и будем использовать табличные значения при T=300K: .
№ |
Материал (T=300K) |
Теплопроводность, Вт/см·К |
1. |
SiO2 (аморфный) |
0,014 |
2. |
Ge |
0,6 |
3. |
Si |
1,5 |
4. |
GaAs |
0,46 |