RGR2_1_kurs (1)
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ
_______________________________________________________________________
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ
Е.Ф. КАЛИНИЧЕНКО
МАТЕРИАЛЫ
расчетно-графической работы №2 по математике
для студентов 1 курса специальностей менеджмент и государственное и муниципальное управление
Издание первое
Коломна КИ (ф) МГОУ – 2011
1
УДК 512.64 (075);
ББК 22.12
Рецензенты:
кандидат физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики и физики КИ (ф) МГОУ Адамушко Н. Н.
Калиниченко Е.Ф.
МАТЕРИАЛЫ расчетно-графической работы №2 по математике. 1-е изд., –
Коломна: КИ (ф) МГОУ, 2011, 19 с.
Учебное пособие содержит теорию, задания и требования к выполнению расчетно-графической работы по основам математического анализа. Предназначено для студентов специальностей «менеджмент» и «государственное и муниципальное управление» технических университетов дневной формы обучения.
Рассмотрено на заседании кафедры высшей математики и физики 9.11.2011г., протокол №3/2011
2
1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
1.1. Пределы.
Пусть заданы две функции f (x) и g(x) . Если существуют lim f (x)
x x0
и lim g(x) , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а
x x0
при |
условии |
lim g(x) 0 и |
предел |
частного, |
причем |
|
|
x x0 |
|
|
|
Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной
функции равен этой постоянной, то есть lim С С . Из приведенных формул
x x0
следует полезное утверждение:
,
то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Если сделать замену переменной t x x0 , то вычисление предела при x x0 всегда можно свести к вычислению предела при t t0 .
Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает
со значением функции в этой точке lim f (x) f (x0 ) . Все элементарные функции
x x0
непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке x0 в выражение функции.
Непределенности и их раскрытие.
Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если
lim f (x) и |
lim g(x) , то может существовать ( lim |
f (x) g(x)) . В этом случае |
|
x x0 |
x x0 |
x x0 |
|
3
говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать
lim |
f (x) |
, в этом случае имеем неопределенность типа |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x x0 |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
Если lim f (x) 0 и |
lim g(x) 0 , то может существовать |
lim |
f (x) |
. В этом случае |
|||
|
|||||||
|
x x0 |
x x0 |
x x0 |
g(x) |
|
||
говорят, что имеем неопределенность типа . Если |
lim f (x) 0 и |
lim g(x) , |
|||||
|
|
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
то может существовать lim f (x) g(x) - неопределенность типа |
. |
||||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
Рассматривают также неопределенности типа |
, |
и т. |
д. Основным |
признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой x0 в выражение для функции.
Полезно запомнить замечательные пределы:
первый замечательный предел
,
его используют для вычисления неопределенность типа .
второй замечательный предел
(е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов), его используют для вычисления неопределенностей типа .
1.2. Производная функции.
Производная является основным понятием дифференциального исчисления, характеризующим скорость изменения функции. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.
Пусть в некоторой окрестности точки |
определена функция y f (x) . |
Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
Производная функции y f (x) в точке x0 обозначается символами
4
Производная сложной функции. Если функции y f (u) и
u (x) имеют конечные производные |
|
f (u) |
функция y f ( (x)) тоже имеет производную y
|
и |
|
|
|
|
, |
то сложная |
yu |
(x) ux |
||||||
( f ( (x))) |
|
|
|
|
|
||
|
yu |
ux . |
Производная функции заданной неявно. Во многих задачах функция y f (x) задана неявным образом. Например, для приведенных ниже функций
невозможно |
получить |
зависимость |
y(x) |
|
в |
явном |
виде. |
|||
Алгоритм вычисления |
производной |
|
от неявной |
функции |
выглядит |
|||||
y (x) |
||||||||||
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сначала |
необходимо |
продифференцировать |
обе |
части уравнения по |
|||||
|
отношению |
к |
переменной |
x , |
предполагая, |
|||||
|
что y - это дифференцируемая |
функция |
x |
и |
используя |
правило |
||||
|
вычисления производной от сложной функции; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить полученное уравнение относительно производной y (x) . |
|
Пример.
Продифференцировать функцию, заданную уравнением
.
Решение.
Продифференцируем обе части уравнения по переменной x :
что приводит к результату
5
1.3. Производные высших порядков.
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем
Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением
Пусть теперь производная n-го порядка f (n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда
Производные высших порядков обозначаются символами:
Когда n мало, для обозначения производных используются штрихи, римские цифры или точки.
2. ЗАДАНИЯ
(ПОСТАНОВКА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ).
2.1. Расчетно-графическая работа № 2 (РГР № 2).
Задача 1. Вычислить предел.
1. |
lim |
|
2x3 7x2 x 2 |
|
. |
|||||||||
|
6x3 |
4x2 |
5x 10 |
|||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||
2. |
lim |
|
1 4x x4 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
6x4 |
3x2 x |
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
lim |
|
x2 |
x 3 |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
6x3 |
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
lim |
3x5 |
5x2 x 21 |
. |
|
|||||||||
|
x5 |
x2 7x 1 |
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
||||||||||
5. |
lim |
|
8x2 |
4x2 |
2 |
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
10x5 2x2 5 |
|
|
||||||||||
6. |
lim |
|
2x5 |
7x2 |
4 |
. |
|
|
|
|||||
|
6x5 |
3x2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
lim |
1 4x x4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
x2 2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6
8. |
lim |
4x6 |
x3 |
2x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2x6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
lim |
8x2 |
4x 7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
5x3 |
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
lim |
1 4x x |
4 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2x4 |
3x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11. |
lim |
5x3 |
6x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4x2 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12. |
lim |
|
2x5 8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5x5 |
x3 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
13. |
lim |
|
3x6 8x2 5 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
2x7 |
3x5 |
|
6x |
7 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
14. |
lim |
8x2 |
4x 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4x2 |
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15. |
lim |
3x4 |
8x 11 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2x2 |
3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
16. |
lim |
5x3 |
6x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x3 2x2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17. |
lim |
3x5 |
8x2 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x5 |
6x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
18. |
lim |
x4 3x2 |
8x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x5 |
7x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
19. |
lim |
2x2 |
5x 7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3x5 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
20. |
lim |
x5 6x2 17 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x4 6x2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
21. |
lim |
|
2x2 5x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
4 |
x |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
lim |
|
|
x2 x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
3x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
23. |
lim |
|
|
4x3 5x |
2 7x |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
6 |
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
1 |
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
24. |
lim |
|
x3 5x2 |
|
7x |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4x |
6 |
x |
2 |
|
x 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25. |
lim |
3 |
8x6 5x3 |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2x2 |
3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
26. |
lim |
3 |
x6 |
x3 |
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x4 |
x 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
27. |
lim |
|
4x4 5x2 |
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
5x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
28. |
lim |
( |
|
x2 3x 2 x) . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x 3) . |
|||||||||
lim |
( |
|
x(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
30. lim ( x2 x |
x2 3) |
|||
x |
|
|
Задача 2. Вычислить предел.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
1. lim |
|
|
|
|
|
3x 17 |
|
|
|
2x 12 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 8x 15 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
lim |
|
|
|
x 10 |
|
|
|
|
4 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
2x2 x 21 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
lim |
|
|
|
x 12 |
|
|
|
|
4 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
x2 2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
lim |
|
|
|
|
3x2 4x 1 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x 3 |
|
5 |
3x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 2 |
5 x |
1 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
lim |
|
|
2x 1 |
|
|
|
6 x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 5 |
|
|
2x2 7x 15 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
lim |
|
|
|
2 x |
|
|
x 6 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
x2 x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
lim |
|
|
|
x2 x 12 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x 3 |
|
|
x 2 |
|
4 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9. |
lim |
x2 |
7x 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
lim |
|
|
2x |
|
2 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. |
lim |
1 |
|
x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 8 |
3 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12. |
lim |
|
|
2x 1 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
13. |
lim |
|
|
1 |
|
x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 8 |
3 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
14. |
lim |
|
|
6x 1 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
15. |
lim |
3x |
1 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
16. |
lim |
x2 |
x 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
17. |
lim |
|
|
x2 |
3x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
18. |
lim |
|
x2 x 6 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2x2 x 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
19. |
lim |
3x2 x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2x2 5x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
20. |
lim |
2x |
|
2 9x 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x2 x 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
21. |
lim |
|
|
x2 |
x 12 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 |
|
2x 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
22. |
lim |
|
3x2 |
x 2 |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
3x2 4x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
23. |
lim |
|
x2 |
|
x 12 |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
5x 6 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
24. |
lim |
|
|
|
x2 |
|
9x 8 |
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
6x 16 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
25. |
lim |
|
|
2x2 |
15x 7 |
|
. |
||||||||||||
|
|
3x2 |
20x |
|
7 |
|
|||||||||||||
|
x 7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
26. |
lim |
|
|
2x2 |
9x 5 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
2x2 |
7x 3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27. |
lim |
|
|
2x |
2 11x 5 |
|
. |
||||||||||||
|
|
2x2 5x |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. |
lim |
|
|
3x2 |
4x 1 |
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
3x2 |
5x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
29. |
lim |
|
|
3x |
2 5x 2 |
. |
|||||||||||||
|
3x2 10x |
|
3 |
||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30. |
lim |
|
|
2x2 |
5x 3 |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
2x2 |
3x 9 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Вычислить предел.
1. |
1 lim |
|
1 cos 3x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
2x sin 5x |
|
|
|
|||||||
2. |
lim |
1 cos 3x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2x 2 |
|
|
|
|
|||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
lim |
1 |
cos 2x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||
4. |
lim |
1 |
cos10x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||
5. |
lim |
1 |
cos 2x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
||||
6. |
lim |
|
|
1 cos 3x |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
2x sin 5x |
|
|
|
||||||
7. |
lim |
1 |
cos 2x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
1 |
cos 4x |
|
|
|
|||||||
8. |
lim |
1 |
cos 4x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
1 cos 8x |
|
|
|
|||||||
9. |
lim |
1 |
cos 3x |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
||||
10. |
lim |
|
|
|
|
x sin 3x |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
cos x cos3 |
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
x |
|||||||||
11. |
lim |
|
|
|
|
2x sin 5x |
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
cos x cos3 |
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
x |
9
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
cos x cos5 x .
x2 sin 5x .
4x 2
6x3 . sin 3 x sin x3
sin 3 x
9х . tg 3x
tg 7х .
11x
5x . tg 3x
tg 2 2x . tg 2 3x
tg |
2 x |
||||
|
2 |
|
. |
||
|
|||||
|
|
||||
2x |
5x . tg 5x
sin 2 3x . xtg 2x
1 cos 4x . xtgx
sin 5x . tg 3x
xtg 3x . cos x cos3 x 3x2 5x .
sin 3x xctg 5x .
3xctg 8x .
xtg 3xctg 2 2x .
x sin 2xctg 2x .
Задача 4. Вычислить предел.
2x 3 x 2
1. lim .
x 2x 1
10