
- •Оглавление
- •Численное решение итерационным методом
- •2D уравнения теплопроводности
- •Разработка фрагмента исходного кода для численного решения итерационным методом 2d уравнения теплопроводности
- •Интерфейс графических устройств gdi
- •Фрагмент функции void Child_Rgn_Zg_OnPaint(hwnd hwnd…)
- •Входящие программы
- •Список литературы
Оглавление
Численное решение итерационным методом 2
2D уравнения теплопроводности 2
Разработка фрагмента исходного кода для численного решения итерационным методом 2D уравнения теплопроводности 4
Интерфейс графических устройств GDI 6
Фрагмент функции void Child_Rgn_Zg_OnPaint(HWND hwnd…) 14
Входящие программы 21
Список литературы 23
Численное решение итерационным методом
2D уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности – нестационарное (изменяющееся со временем) дифференциальное уравнение в частных производных, для 2D случая имеет следующий вид:
,
(1)
где
– нестационарное 2D распределение температуры,
– коэффициент теплопроводности материала.
Введём
в функциональном 3D
пространстве
сетку с шагами
.
Для удобства вычислений – равномерную
по пространственным переменным
:
.
В основе простейшего итерационного
конечно-разностного метода решения
дифференциальных уравнений в частных
производных лежит замена:
в правой части (1) вторых производных центральными разностями по
;
в левой части (1) первой производной разностью вперёд по
.
.
(2)
Конечно-разностное уравнение (2) преобразуем в форму, удобную для итерационного решения:
.
(3)
Форма
(3) записи уравнения теплопроводности
(1) и (2) позволяет находить следующее по
времени
значение
исходя из известных на данный момент
текущих значений
.
Для итерационного процесса необходимо
задать начальные и граничные условия.
Начальные
условия определяют начальное 2D
распределение значений
при
.
Например, в начальный момент времени
точка с координатами
разогрета некоторым внешним воздействием
(удар микрометеорита по корпусу КА,
точечная подсветка мощным импульсом
лазерного излучения, монтажник точечно
задел горячим паяльником и т.п.) до
некоторой температуры:
.
(4)
Граничные условия определяют ситуацию на границах 2D диапазона вычислений
(5)
Пусть внешнее воздействие в заданной точке привело к разогреву до температуры:
,
а температура на границах диапазона вычислений равна температуре окружающей среды, для простоты – комнатной температуре:
.
Имея
форму итерационной записи (3), начальные
(4) и граничные условия (5), можно найти
решение уравнения (1), то есть, рассчитать
динамику изменения 2D
распределения температуры
для последовательных моментов времени
.
Значение
коэффициента теплопроводности
является
табличной величиной и берётся из
физических справочников. Имеет размерность
.
Вообще-то, коэффициент теплопроводности
является функцией температуры:
,
но для упрощения расчётов примем, что
коэффициент теплопроводности является
константой и будем использовать табличные
значения при T=300K:
.
№ |
Материал (T=300K) |
Теплопроводность, Вт/см·К |
1. |
SiO2 (аморфный) |
0,014 |
2. |
Ge |
0,6 |
3. |
Si |
1,5 |
4. |
GaAs |
0,46 |