Математические формулы и методы их применения / Линейная алгебра. Матрицы
.pdfЛинейная алгебра Матрицы
2004 г.
Андрей Ивашов
Содержание |
- 3 - |
|
Основные понятия.......................................................................... |
|
|
Матрица....................................................................................... |
|
- 3 - |
Единичная .................................................................................... |
|
- 3 - |
Квадратная................................................................................. |
|
- 3 - |
Квадратичная............................................................................ |
|
- 3 - |
Кубическая................................................................................... |
|
- 3 - |
Вырожденная.............................................................................. |
|
- 3 - |
Невырожденная......................................................................... |
|
- 3 - |
Диагональная.............................................................................. |
|
- 4 - |
Симметрическая....................................................................... |
|
- 4 - |
Транспонированная.................................................................. |
|
- 4 - |
Союзная......................................................................................... |
|
- 4 - |
Обратная..................................................................................... |
|
- 4 - |
Мультиколлинеарная.............................................................. |
|
- 4 - |
Соответственные матрицы................................................ |
- 4 - |
|
Коммутативные матрицы .................................................. |
- 5 - |
|
Расширенная............................................................................... |
|
- 5 - |
Треугольная................................................................................. |
|
- 5 - |
Прямоугольная........................................................................... |
|
- 5 - |
Ступенчатая матрица.......................................................... |
|
- 5 - |
Нулевая матрица...................................................................... |
|
- 5 - |
Определитель............................................................................. |
|
- 6 - |
Минор............................................................................................. |
|
- 6 - |
Алгебраическое дополнение................................................... |
- 6 - |
|
Линейная комбинация.............................................................. |
|
- 6 - |
Свойства матриц........................................................................... |
|
- 7 - |
Сложение (вычитание) матриц.......................................... |
- 7 - |
|
Произведение матриц............................................................. |
|
- 7 - |
Теоремы о матрицах...................................................................... |
|
- 7 - |
Определители................................................................................... |
|
- 8 - |
Разложение по строке (столбцу)........................................ |
- 8 - |
|
Метод Гаусса.............................................................................. |
|
- 9 - |
Определитель первого порядка.......................................... |
- 10 - |
|
Определитель второго порядка........................................ |
- 10 - |
|
Определитель третьего порядка..................................... |
- 10 - |
|
Правило Саррюса.............................................................. |
|
- 10 - |
Метод диагоналей............................................................ |
|
- 10 - |
Свойства определителей........................................................... |
|
- 11 - |
Обратная матрица...................................................................... |
|
- 12 - |
Теорема об условии существования................................. |
- 12 - |
|
Теорема о единственности................................................. |
- 12 - |
|
Андрей Ивашов |
- 30 - |
|
Основные понятия
|
|
çæ a11 |
a12 |
L a1n |
|||
Матрица - A |
= |
ç a21 |
a22 |
L a2n |
|||
mn |
|
ç |
M |
|
M |
M M |
|
|
|
ç |
a |
||||
|
|
ç a |
m2 |
L a |
mn |
||
|
|
è |
m1 |
|
|
ö |
|
a11 |
|
||
÷ |
|
a21 |
÷ |
= |
|
÷ |
M |
|
÷ |
|
|
÷ |
|
am1 |
ø |
|
a12 |
L a1n |
|
|
|
|
|
|||
a22 |
L a2n |
|
|
- |
M |
M M |
|
|
|
|
|
|
||
am 2 |
L amn |
|
|
|
упорядоченная прямоугольная таблица чисел (где элемен-
ты a11, a22, K, amn составляют главную диагональ мат-
рицы, а элементы a1n ,K, am1 - побочную). Тело матрицы
может быть записано как в круглых скобках (на рисунке слева), так и между двух двойных вертикальных линий (справа). Данные записи абсолютно идентичны.
|
æ1 |
0 |
L 0ö |
|
|||
|
ç |
0 |
1 |
L |
|
÷ |
|
Единичная - |
ç |
0÷ |
- матрица, на главной |
||||
Emn = ç |
|
|
|
|
÷ |
||
|
ç M |
M |
M |
M |
÷ |
|
|
|
ç |
0 |
0 |
L |
|
÷ |
|
|
è |
1ø |
|
диагонали которой стоят единицы, а на местах осталь- ных элементов находятся нули.
|
|
çæ a11 |
a12 |
||
Квадратная – A |
= |
ç a21 |
a22 |
||
mm |
|
ç |
M |
|
M |
|
|
ç |
a |
||
|
|
ç a |
m2 |
||
|
|
è |
m1 |
|
La1m
La2m
M M
Lamm
ö
÷
÷÷ - матрица, число
÷
÷
ø
строк которой равно числу её столбцов.
æ a
Квадратичная – A = ç 11
çèa21
двух строк и двух столбцов.
|
çæ a11 |
a12 |
Кубическая – |
A = ç a21 |
a22 |
|
ç a |
a |
|
è 31 |
32 |
a ö
12 ÷ - матрица, состоящая из
a22 ÷ø
a ö
13 ÷
a23 ÷ - матрица, состоящая из
a33 ÷ø
трёх строк и трёх столбцов.
Вырожденная – квадратная матрица, определитель которой равен нулю (особая).
Невырожденная – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю (неособая).
Андрей Ивашов |
- 3 - |
11.Пример: Найти обратную матрицу по теореме Лапласа
|
|
æ 2 |
5 |
|
7 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ç |
6 |
3 |
|
4 |
÷ |
|
|
|
det (A) = -1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A = ç |
|
÷; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
5 |
-2 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
-3ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A11 = ( |
-1) |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|||||||||||
|
|
M11 = |
|
-2 -3 |
= -1; |
|
|
A21 = (-1) |
|
M21 = - |
|
-2 -3 |
=1; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
A22 = (-1) |
4 |
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A12 = (-1) |
M12 |
= - |
5 |
|
|
|
|
-3 |
= 38; |
|
|
|
M22 = |
|
5 |
-3 |
= -41; |
|||||||||||||||||||||||||
|
A13 = (-1)4 M13 = |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
= -27; |
|
|
A23 = (-1)5 M23 = - |
|
2 |
5 |
|
= 29; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 -2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A31 = (-1) |
M31 = |
|
|
3 4 |
|
|
= -1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A32 = (-1)5 M32 = - |
|
|
2 |
|
|
|
7 |
|
= 34; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A33 = (-1)6 M33 = |
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
= -24; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
æ -1 38 -27ö |
|
|
|
|
~T |
|
|
|
æ -1 |
1 |
|
-1 ö |
|
|
æ 1 |
|
|
|
-1 |
1 ö |
|||||||||||||||||||||
~ |
|
ç |
1 |
-41 29 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
= |
ç |
38 |
-41 34 |
÷ |
−1 |
|
ç |
-38 41 -34 |
÷ |
||||||||||||||||||||||
A |
= ç |
|
|
÷ |
; A |
|
|
|
ç |
÷ |
; A |
|
= ç |
÷ . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
-1 |
34 |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-27 |
29 |
-24 |
÷ |
|
|
ç |
27 |
|
|
|
-29 |
24 |
÷ |
||||||||
|
|
è |
-24ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
è |
|
|
|
ø |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ получен. |
|||||||||||||
12.Пример: Найти обратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
æ cos α |
|
-sin |
( |
α |
ö |
; |
|
|
|
|
|
det (A) = cos2 (α )+ sin2 (α ) =1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
A = ç |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
cos (α ) |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
è sin(α ) |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ cos(α ) |
|
sin(α )ö |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
T |
|
æ cos(α ) |
sin(α ) ö |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
= ç |
|
|
|
cos (α ) |
÷ |
|
|
|
|
Þ |
A = ç |
|
(α ) |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
è-sin (α ) |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è -sin |
|
cos(α )ø |
|
|
|
|
|
|
Ответ получен. 13.Пример: Найти ранг матрицы методом окайм-
ления миноров
Андрей Ивашов |
- 28 - |
Коммутативные матрицы – две матрицы удовле-
творяющие условию A× B = B × A (перестановочные).
|
çæ a11 |
a12 |
L a1n |
b1 ÷ö |
|
|||
¢ |
ç a21 |
a22 |
L a2n |
b2 |
÷ |
- матрица, |
||
Расширенная – Am (n+1) = ç |
M |
|
M |
M M |
M |
÷ |
||
|
ç |
a |
÷ |
|
||||
|
ç a |
m2 |
L a |
b |
÷ |
|
||
|
è |
m1 |
|
mn |
m ø |
|
в которой, помимо её основной части, присутствуют ещё и свободные члены.
|
æ a11 |
a12 |
L a1n ö |
æ a11 |
0 L 0 ö |
|
||||||||
|
ç |
|
a22 |
L |
|
|
÷ |
ç |
|
|
a22 |
L 0 |
÷ |
|
Треугольная – |
ç |
0 |
a2n ÷ |
ç a21 |
÷ |
- |
||||||||
ç |
M |
M |
M |
|
M |
÷; |
ç |
M |
M |
M M |
÷ |
|||
|
ç |
|
÷ |
ç |
÷ |
|
||||||||
|
ç |
0 |
0 L a |
|
÷ |
ça |
m1 |
a |
L a |
÷ |
|
|||
|
è |
|
|
|
|
mn ø |
è |
|
m 2 |
mn ø |
|
квадратная матрица, у которой все элементы, располо- женные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю (слева на примере – верхняя треугольная; справа
– нижняя треугольная).
|
|
çæ a11 |
a12 |
||
Прямоугольная – A |
= |
ç a21 |
a22 |
||
mn |
|
ç |
M |
|
M |
|
|
ç |
a |
||
|
|
ç a |
m2 |
||
|
|
è |
m1 |
|
La1n
La2n
M M
Lamn
ö
÷
÷÷ - матрица,
÷
÷
ø
состоящая из m строк и n столбцов.
|
çæ a11 |
a12 |
L a1n ÷ö |
|||
|
ç |
0 |
a22 |
L a2n ÷ |
||
Ступенчатая матрица – A |
ç |
M |
M |
M |
M |
÷ |
= ç |
÷ - |
|||||
(m+i )n |
ç |
0 |
0 |
L amn ÷ |
||
|
ç |
M |
M |
M |
M |
÷ |
|
ç |
÷ |
||||
|
ç |
0 |
0 |
L |
0 |
÷ |
|
è |
ø |
матрица у которой все элементы стоящие под главной диагональю равны нулю, содержащая нулевые строки (столбцы).
|
|
æ0 |
0 |
L 0 |
ö |
|
||
|
|
ç |
0 |
0 |
L 0 |
÷ |
|
|
Нулевая матрица - |
Amn = |
ç |
÷ |
- матрица, все |
||||
ç M |
M |
M M |
÷ |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
ç |
0 |
0 |
L 0 |
÷ |
|
|
|
|
è |
ø |
|
||||
Андрей Ивашов |
- 5 - |
|
|
|
|
æ1 3 |
-1 0ö |
|
æ1 3 -1 0ö |
|
æ1 3 |
-1 |
0ö |
||||||||||
ç |
|
-1 - 4 |
÷ |
II -2I ç |
|
- 7 |
- 2 |
÷ III -II ç |
|
- 7 - 2 |
|
÷ |
|||||
A¢ = ç2 |
3÷ |
~ |
ç0 |
3÷ |
~ |
ç0 |
3÷ |
||||||||||
ç |
3 |
2 |
- 5 |
÷ III -3I ç |
0 |
- 7 |
- 2 |
÷ |
|
ç |
0 |
0 |
0 3 |
÷ |
|||
è |
6ø |
|
è |
6ø |
|
è |
ø |
- нет решений.
Ответ получен.
7.Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса
ì2x + x |
+ x |
= |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
íx1 |
+ 2x2 + x3 |
= 8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ïx + x |
2 |
+ 2x |
= |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
î 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
æ2 |
|
1 |
1 |
7ö |
|
æ2 |
1 1 7 ö |
|
æ2 1 1 7 ö |
1 |
III |
||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
2II - I ç |
÷ III -II ç |
÷ |
8 |
|
|||
A¢ = ç1 |
|
2 1 8÷ |
~ |
ç0 3 1 9 ÷ |
~ |
ç |
0 3 1 9 ÷ |
~ |
|||||||||
|
|
ç |
|
|
1 2 9 |
÷ |
2 III -I ç |
÷ |
|
ç |
÷ |
|
|
||||
|
|
è1 |
|
ø |
|
è0 1 3 11ø |
|
è |
0 0 8 24ø |
|
|
||||||
1 |
III |
æ2 |
|
1 |
|
1 |
7 |
ö |
|
|
ìx1 =1 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
Þ |
ï |
= 2 . |
|
|
|
|
|
~ |
ç0 3 1 9 |
÷ |
|
íx2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ç0 |
|
0 |
1 |
3 |
÷ |
|
|
ïx |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
î 3 |
|
|
|
|
|
|
Ответ получен.
8.Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса
ìx + 2y + 3z = 3 ïí3x + y + 2z = 7; ïî2x + 3y + z = 2
|
æ1 2 3 3ö |
|
æ1 2 |
3 |
3 ö |
|
æ1 |
2 |
3 |
3ö |
|
||||||||
|
ç |
|
÷ |
II -3I ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
(-1)II ç |
0 |
5 |
7 |
÷ II -5III |
|||
A¢ = ç3 1 2 7 |
÷ |
~ |
ç0 |
|
- 5 - 7 - 2÷ |
~ |
ç |
2÷ |
~ |
||||||||||
|
ç |
|
÷ III -2I ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
(-1)III ç |
|
|
|
÷ |
|
|||
|
è2 3 1 2 |
ø |
|
è |
0 |
|
-1 - 5 - 4ø |
|
è |
0 |
1 |
5 |
4ø |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
æ |
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
ìx = 2 |
|
||
|
æ1 2 3 |
|
3 |
ö |
ç - |
|
÷II æ1 2 |
3 |
3 |
ö |
|
|
|
||||||
II -5III ç |
-18 |
|
|
÷ |
è |
18 |
ø |
ç |
|
5 |
4 |
÷ |
Þ |
ï |
|
|
|
||
~ |
ç0 0 |
|
-18÷ |
|
~ |
|
ç 0 1 |
÷ |
íy = -1 . |
|
|||||||||
|
ç |
|
|
4 |
÷ |
|
|
|
ç |
0 0 |
1 |
1 |
÷ |
|
|
ï |
|
|
|
|
è0 1 5 |
|
ø |
|
|
|
è |
ø |
|
|
îz =1 |
|
|
Ответ получен.
9.Пример: Решить систему уравнений методом Крамера
Андрей Ивашов |
- 26 - |
Свойства матриц
Сложение (вычитание) матриц
Складывать (вычитать) можно только матрицы одина- ковых размеров. При сложении (вычитании) двух матриц каждый элемент первой матрицы складывается (вычита- ется) с соответствующим элементом второй.
Пример: Сложить и вычесть две матрицы
æ |
1 |
0 ö |
æ2 |
3ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
|
= A+ B; D = B - A; |
|
|
|
|
|
A = ç |
|
÷; |
B = ç |
|
÷; C |
|
|
|
|
|||
è |
2 |
-1ø |
è4 |
5 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
æ |
(1+ 2) |
(0 + 3) ö |
æ |
3 3ö |
æ |
(2-1) (3- 0)ö |
æ1 |
3ö |
||||
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
C = ç |
|
|
÷ |
= ç |
6 4 |
÷; D = ç |
(4 - 2) (5+1) |
÷ |
= ç |
2 |
÷ . |
|
è |
(2 + 4) (-1+ 5)ø |
è |
ø |
è |
ø |
è |
6ø |
Ответ получен.
Произведение матриц
При умножении матриц Amn и Bnl получается Cml матри-
ца, т.е. перемножать можно лишь соответственные друг другу матрицы. Каждый элемент конечной матрицы равен
сумме произведений соответствующих элементов итой ( i ) строки первой матрицы и житого ( j ) столбца вто-
рой. Умножение производится по правилу «строка на столбец».
Пример: Найти произведение двух матриц
æ1 |
0 ö |
æ 2 |
3ö |
||
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
A = ç |
2 |
÷; |
B = ç |
4 |
÷; |
è |
-1ø |
è |
5ø |
æ |
(1×2 + 0 ×4) |
(1×3 + 0 ×5) ö |
æ2 |
3ö |
||
ç |
|
÷ |
ç |
0 |
1 |
÷ |
A× B = ç |
(2 × 2 + (-1)×4) (2×3 + (-1)×5)÷ |
= ç |
÷ . |
|||
è |
|
ø |
è |
|
|
ø |
Ответ получен.
Теоремы о матрицах
1.Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы.
2.Основная теорема теории систем линейных уравнений
Пусть имеется совместная система уравнений, A - расширенная матрица этой системы и ранг A равен
n ( rang ( A) = n ). Тогда неизвестные x1, x2 ,..., xk можно объявить главными в том и только том случае, когда
Андрей Ивашов |
- 7 - |
Примеры с решениями
1. |
Пример: Вычислить C = 5A - 2B |
|
|
|
|
||||||||
|
æ |
2 3 5 ö |
, |
æ 2 -2 5 ö |
|
|
|
|
|||||
A = ç |
|
|
÷ |
B = ç |
|
|
÷; |
|
|
|
|
||
|
è |
1 4 -2ø |
|
è0 6 -4ø |
|
|
|
|
|||||
|
|
æ 2 3 5 |
ö |
æ 2 -2 5 ö æ10 15 25 ö æ |
4 -4 10 ö |
= |
|||||||
C = 5ç |
|
|
÷ |
- 2ç |
|
÷ = ç |
÷ - ç |
0 12 -8 |
÷ |
||||
|
|
è |
1 4 -2ø |
è 0 6 -4ø è 5 20 |
-10ø è |
ø |
|
||||||
æ 6 |
19 |
15 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ç |
5 |
|
8 |
÷ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
-2ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ получен. |
|||
2. |
Пример: Вычислить произведение матриц AB |
|
|
||||||||||
|
æ |
1 |
2 |
3 ö |
|
æ1 |
2 |
4ö |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
-3 1 |
÷ |
|
|
|
|
|||||
A = ç |
5 |
4 |
÷ |
, B = ç3 |
÷; |
|
|
|
|
||||
|
è |
-5ø |
|
ç |
0 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
è1 |
ø |
|
|
|
|
||
|
æ |
1+ 6 + 3 |
2 - 6 + 0 |
|
4 + 2 + 6 ö æ10 -4 12 |
ö |
|
|
|||||
C = ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ = ç |
-2 14 |
÷ . |
|
|
|
|
è |
5 +12 - 5 10 -12 + 0 20 + 4 -10ø è12 |
ø |
|
|
Ответ получен.
3.Пример: Вычислить определитель матрицы методом Гаусса
|
3 |
4 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
3 |
4 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
3 5 1 |
II−3I |
-6 -7 0 -1 -2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
D = |
6 8 1 5 9 |
III −I |
3 4 0 3 8 |
= |
|
|||||||||||||||||||||||
~ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 5 |
|
3 7 9 |
IV −3I |
-6 -7 0 1 6 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
V +3I |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
8 7 |
-3 0 4 |
|
|
|
17 19 0 6 7 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
-6 -7 -1 -2 |
|
I+III |
|
|
-12 -14 |
0 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
4 |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
25 |
0 |
|
-10 |
|
||||||
|
|
1+3 |
|
|
|
|
|
|
II−3III |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
= (-1) |
|
-6 |
|
-7 |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
~ |
|
|
-6 |
|
|
-7 |
1 |
|
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV −6III |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-29 |
|
|
|
|
17 |
|
19 |
|
6 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
61 |
0 |
|
|
|||||
= (-1)3+3 |
|
-12 |
-14 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
21 25 |
|
|
|
-10 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
53 |
61 |
|
|
|
-29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (8700 + 7420 + 5124) -(5300 + 7320 + 8526) = 98 .
Ответ получен.
Андрей Ивашов |
- 24 - |
Здесь приведён пример разложения определитель по итой строке. При разложении по j -тому столбцу сумма будет выглядеть следующим образом:
m
S aij Aij = a1 j A1j + a2 j A2 j +K+ amj Amj . i=1
Метод Гаусса
Как уже отмечалось, в первом способе нахождения опреде- лителя, для его применения рациональнее использовать строку (столбец) который содержит максимальное коли- чество нулей. Оказывается данную ситуацию можно и нужно создать искусственно. Именно в этом и состоит суть метода Гаусса для нахождения определителя произ- вольного порядка.
В искомом определителе необходимо найти элемент, не равный нулю (оптимально – равный единице), затем, эле- ментарными преобразованиями, над строкой (столбцом) этого элемента привести все элементы, принадлежащие столбцу (строке), на котором находится элемент, к нулю. Теперь, с чистой совестью, раскладываем детерминант по модифицированному столбцу (строке) по рекуррентной формуле (см. выше). Таким образом, мы получили опреде- литель на порядок ниже исходного. Если есть необходи- мость в дальнейшем его понижении, применяем весь опи- санный алгоритм заново, но уже с полученным детерми- нантом.
Пример: Вычислить определитель методом Гаусса
|
2 |
2 |
|
|
-1 |
1 |
|
II −2I |
|
2 |
2 |
|
-1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
3 |
|
|
-1 |
|
2 |
|
0 |
-1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D = |
|
|
III |
−2I |
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||
8 |
3 |
|
|
-1 |
2 |
~ |
|
4 |
-1 |
1 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
IV |
−2I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
3 |
-2 |
2 |
|
|
|
|
-1 -1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= (-1)1+4 × |
|
0 |
-1 |
1 |
|
II −I |
(-1)× |
|
0 |
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
-1 |
~ |
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
-1 |
-1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
= (-1)1+3(-1)-41 -01 = (-1)×(4×(-1)- 0×(-1))= 4 .
Ответ получен.
По приведённой формуле можно вычислить определители любого порядка, однако есть методы для частных случаев: определителей первого, второго и третьего порядков.
Андрей Ивашов |
- 9 - |
Нахождение координат вектора при смене базиса
X = PX ¢ Þ X¢ = P−1X где
X - исходный вектор;
P - матрица перехода по базису;
X ¢ - искомый вектор.
Очевидно, что при смене базиса, координаты принадлежа- щего ему вектора тоже меняются. Суть данного метода в нахождении координат вектора в новом базисе.
Пример: В базисе e задан вектор x , найти его ко-
|
|
¢ |
ординаты в базисе e |
||
ìe¢ |
= e + e +11e |
|
ï 1 |
1 2 |
3 |
e¢: íe2¢ = 1,1e1 - e2 |
; x{1;10;10} . |
|
ï ¢ |
= -e1 + e2 + e3 |
|
îe3 |
(Данный пример может быть решён двумя способами: либо
перемножаем исходный вектор X |
|
с матрицей перехода P |
||||||||||||||||||
и выражаем из полученной системы искомый вектор |
X ¢ ; |
|||||||||||||||||||
либо находим матрицу обратную к матрице перехода P−1 , |
||||||||||||||||||||
умножаем её на исходный вектор X , |
автоматически по- |
|||||||||||||||||||
лучая искомый вектор X ¢ |
. Разберём оба варианта.) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
æ 1 |
1,1 |
-1ö |
|
|
|
|
|
¢ |
æ x1 ö |
æ 1 |
1,1 -1ö æ x1¢ ö |
||||||
I. |
|
|
ç |
-1 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
ç |
-1 1 |
÷ |
ç ¢ |
÷ |
||
|
P = ç 1 |
÷ Þ X = PX |
|
Þ ç x2 ÷ = |
ç 1 |
÷× |
ç x2 |
÷ |
||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|
è11 0 1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
è x3 ø è11 0 1 |
ø è x3¢ |
ø |
|||||||
|
|
ìx = x¢ +1,1x¢ - x¢ |
|
ìx¢ |
= x +1,1x |
|
- 0,1x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ï 1 |
1 |
2 |
3 |
|
ï |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Þ |
|
íx2 = x1¢ - x2¢ + x3¢ Þ |
íx2¢ = -10x1 -12x2 + 2x3 |
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ï |
¢ |
¢ |
|
|
ï |
¢ |
= -11x1 -12,1x2 |
+ 2,1x3 |
|
|
|
|||||||
|
|
îx3 |
=11x1 |
+ x3 |
|
|
îx3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
æ 1 |
1,1 |
-1ö |
|
|
|
æ |
|
1 |
|
1,1 |
-0,1ö |
|
|
|
|||
II. |
|
|
ç |
-1 |
1 |
÷ |
P−1 = |
ç |
-10 |
|
-12 |
2 |
÷ |
|
|
|
||||
|
P = ç 1 |
÷ ; |
ç |
|
÷ Þ X¢ = P−1X ; |
|||||||||||||||
|
|
|
ç |
0 |
1 |
÷ |
|
|
|
ç |
-11 |
-12,1 |
|
÷ |
|
|
|
|||
|
|
|
è11 |
ø |
|
|
|
è |
2,1 ø |
|
|
|
||||||||
æ x1¢ ö |
æ |
1 |
1,1 |
-0,1ö |
æ x1 ö |
|
|
|
ìx1¢ = x1 +1,1x2 - 0,1x3 |
|
|
|
||||||||
ç ¢ |
÷ |
ç |
-10 |
-12 |
|
2 |
÷ |
ç |
÷ |
Þ |
ï ¢ |
= -10x1 -12x2 + 2x3 . |
|
|||||||
ç x2 |
÷ |
= ç |
|
÷ ×ç x2 ÷ |
íx2 |
|
||||||||||||||
ç |
÷ |
ç |
-11 -12,1 |
2,1 |
÷ |
ç |
÷ |
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
||
è x3¢ |
ø |
è |
ø |
è x3 ø |
|
|
|
îx3¢ = -11x1 -12,1x2 + 2,1x3 |
|
Ответ получен.
Бесспорно, второй вариант предпочтительнее, т.к. отпа-
дает необходимость проделывать громоздкие действия над системой уравнений из первого.
Андрей Ивашов |
- 22 - |
Свойства определителей
1.При транспонировании определитель матрицы не меняется.
2.При перестановке местами любых двух строк (столб- цов) квадратной матрицы определитель меняет знак но сохраняет свою абсолютную величину.
|
a11 |
a12 |
= |
a21 |
a22 |
. |
|
a21 |
a22 |
|
a |
a12 |
|
|
14243 |
|
114243 |
|
||
|
a11a22 −a12a21 |
|
a21a12 − a22 a11 |
3.Если квадратная матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.
4.Если соответствующие элементы каких-либо двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорцио- нальны, то её определитель равен нулю.
5.Если одна из строк (столбцов) матрицы является линейной комбинацией других её строк (столбцов), то определитель такой матрицы равен нулю.
6.Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
|
λa11 |
a12 |
|
= λa11a22 - λa12a21 = λ(a11a22 |
- a12a21 )= λ |
|
a11 |
a12 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
λa21 |
a22 |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
7.Определитель квадратной матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) приба-
вить соответствующие элементы другой её строки (столбца), умноженные на любое число.
a11 |
a12 |
= |
a11 |
a12 |
= a11 (a22 + λa12 )- a12 (a21 + λa11 )= |
a21 |
a22 |
|
a21 + λa11 |
a22 + λa12 |
|
=a11a22 - a12a21 + λ(a12 a11 - a12 a11 )= a11a22 - a12a21 .
8.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические
дополнения соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю.
ai1Aj1 + ai 2 Aj 2 +K+ ain Ajn = 0 , при i ¹ j .
9.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.
det(A×B)= det(A)×det(B) .
Андрей Ивашов |
- 11 - |
Линейная зависимость
|
→ |
→ |
→ |
являются линейно зависимыми, если |
Вектора a |
, b , |
c |
||
существуют такие λ1 , λ2 , λ3 среди которых хотя бы одно |
||||
не |
равно |
нулю |
и |
при этом выполняется равенство |
→ |
→ |
→ |
|
|
λ1 a |
+ λ2 b+ λ3 c = 0 . |
|
|
|
Метод проверки |
|
→{ |
} |
→{ |
} |
→{ |
} |
a xa ; ya ;za ; |
b xb; yb ; zb |
; |
c xc ; yc ; zc |
; |
Для проверки векторов на их линейную зависимость друг с другом составим систему векторов:
æ xa |
ö |
æ xb |
ö |
æ xc |
ö |
ìλ1xa + λ2 xb + λ3 xc = 0 |
|
|
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ç |
÷ |
ï |
; |
|
λ1çç ya ÷÷ + λ2 |
çç yb ÷÷ + λ3 |
çç yc ÷÷ = 0 Þ |
ïíλ1 ya + λ2 yb + λ3 yc = 0 |
|||||
|
||||||||
è za ø |
è zb ø |
è zc ø |
îλ1za + λ2 zb + λ3 zc = 0 |
|
Решим её, к примеру, методом Гаусса. Теперь, если все па- раметры ( λ1 , λ2 , λ3 ) определены (т.е. ранг основной мат-
рицы, полученной из системы векторов равен числу пара- метров) и равны нулю, то вектора не являются линейно зависимыми, в обратном случае (когда ранг меньше коли- чества параметров) – являются.
Пример: Проверить линейную зависимость
→ |
|
|
→ |
|
|
→ |
|
Þ |
|
|
|
||
a{1;-1;2}; |
b{-1;1;-1}; |
|
c{2;-1;1} |
|
|
|
|||||||
æ ö |
æ - ö |
æ ö |
|
|
ìλ - λ + 2λ = 0 |
||||||||
ç |
1 |
÷ |
ç |
1÷ |
ç |
2 ÷ |
= 0 Þ |
ï |
1 |
2 |
3 |
||
λ1ç-1÷ + λ2 |
ç 1 ÷ |
+ λ3 ç-1÷ |
í- λ1 + λ2 -λ3 = 0 Þ |
||||||||||
ç |
2 |
÷ |
ç |
-1÷ |
ç |
1 ÷ |
|
|
ï2λ - λ + λ = 0 |
||||
è |
|
ø |
è |
ø |
è |
|
ø |
|
|
î |
1 |
2 |
3 |
|
æ 1 -1 2 0ö |
II + I |
æ1 -1 2 0ö æ1 -1 2 0ö |
||||||||||
A = |
ç |
|
|
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
ç |
÷ |
||
ç |
-1 1 -1 0÷ |
~ |
ç0 0 1 0÷ |
~ ç |
0 1 -3 0÷ |
||||||||
|
ç |
|
|
|
÷III |
−2 Iç |
|
|
÷ |
ç |
÷ |
||
|
è |
2 -1 1 0ø |
|
|
è0 1 |
- 3 0ø è |
0 0 1 0ø |
||||||
ìλ1 = 0 |
|
|
|
|
→ |
→ |
→ |
|
|
|
|
||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Þ íλ2 = 0 |
- вектора |
a |
, b , |
c |
линейно независимы. |
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îλ3 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ получен. |
Андрей Ивашов |
|
|
|
|
- 20 - |
|
|
|
Теорема Лапласа
Для нахождения обратной матрицы по теореме Лапласа необходимо научиться пользоваться следующим определе- нием обратной матрицы:
1 |
~ |
|
|
A−1 = det(A) AT , при det (A) ¹ 0 . |
Необходимо выполнить следующие действия:
a.Найти определитель матрицы(по теореме об условии существования обратной матрицы, определитель ос- новной матрицы не может быть равен нулю);
b.Получить союзную матрицу для основной;
c.Транспонировать союзную матрицу;
d.Поделить полученную матрицу на её определитель.
Пример: Найти обратную матрицу по теореме Лапласа
|
æ |
3 |
0 |
-5ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
1 |
3 |
÷ |
det(A)= -1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A = ç |
0 ÷; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ç |
0 |
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
-5 |
|
|
|||||||
|
A11 = (-1) |
M11 = |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
= 3; |
|
|
A21 = (-1) |
M21 = - |
2 |
1 |
|
= -10; |
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
-5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
A12 = (-1) |
M12 = - |
|
0 1 |
= -1; |
|
A22 = (-1) |
M22 = |
|
0 1 |
|
|
= 3; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
A13 = (-1) |
M13 = |
0 2 |
|
= 2; |
|
A23 = (-1) |
M23 = - |
|
|
0 2 |
|
|
= -6; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A31 = (-1) |
M31 = |
3 |
|
|
0 |
|
= 15; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
A32 = (-1) |
M32 = - |
|
1 0 |
|
= -5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A33 = (-1) |
M33 = |
|
|
1 3 |
= 9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
æ 3 -1 2 ö |
|
|
|
|
~T |
|
æ 3 -10 15 ö |
|
æ -3 10 -15ö |
||||||||||||||||||||||||
~ |
ç |
-10 3 -6 |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
−1 |
ç |
1 |
|
|
-3 |
|
|
|
5 |
÷ |
||||||||||||
A = ç |
|
÷; A |
|
= ç |
-1 3 -5÷ |
; A |
= ç |
|
|
|
|
|
÷ . |
|||||||||||||||||||||
|
ç |
15 -5 9 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
÷ |
|
ç |
-2 6 |
|
|
|
-9 |
÷ |
|||||||||||||
|
è |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è |
-6 9 ø |
|
è |
|
|
|
ø |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ получен. |
||||||||||||
Андрей Ивашов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 13 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ранг матрицы
Рассмотрим два метода нахождения ранга матрицы.
Метод окаймления миноров
Для нахождения ранга матрицы по данному методу необ-
ходимо найти минор первого порядка матрицы отличный от нуля, затем, окаймляя найденный минор с двух сторон двумя прилежащими к нему строкой и столбцом, прове- рить чему он равен. Если данный минор (уже второго по- рядка) не равен нулю, следующая итерация окаймления производиться над ним. Данный алгоритм действителен пока очередной минор не будет равен нулю. Если так, то необходимо проверить, возможно ли провести его окайм- ление с другими строкой и/или столбцом. В случае поло- жительного ответа на данный вопрос дальнейшее окайм- ление проводится с участием уже нового минора. В про-
тивном случае решение останавливается и ранг матрицы оказывается равным порядку последнего, не равного нулю, минора.
Пример: Найти ранг матрицы методом окаймле- ния миноров
æ1 |
2 |
3 |
|
4 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
=1 ¹ 0 Þ M1,1,22 |
|
1 |
2 |
|
||||
A = ç1 |
0 |
1 |
|
2 |
÷ Þ M11 |
= |
= -2 ¹ 0 Þ |
||||||||
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
è3 |
4 |
7 |
10ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Þ M1,1,22,3,3 |
= |
1 |
2 |
|
3 |
= 0; M1,21, 2,4,3 = |
1 |
2 |
|
4 |
= 0 Þ |
||||
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
2 |
||||||||
|
|
3 |
4 |
|
7 |
|
|
|
3 |
4 |
10 |
|
|
|
|
(т.к. больше |
миноров |
третьего |
порядка, окаймляющих |
M11,2,2 , второго порядка, в матрице нет, её ранг равен двум)
Þ rang (A) = 2 .
Ответ получен.
Метод Жордана - Гаусса
Метод заключается в том, чтобы элементарными преоб- разованиями (не только над строками, но и столбцами) над исходной матрицей, привести её к виду единичной, при этом удаляя строки (столбцы), состоящие из одних нулей. В итоге получится единичная матрица n -го порядка и ранг исходной матрицы будет равен n . Иначе говорят, ранг будет равен числу, определяющему количество единиц
Андрей Ивашов |
- 18 - |
Решение систем уравнений
С помощью матриц можно решить лишь системы линей- ных алгебраических уравнений. В некоторых случаях сис-
тему можно привести к данному определению методом подстановки.
Матричный метод
Метод решения систем линейных алгебраических уравне- ний с помощью обратной матрицы.
A× X = B Þ X = A−1 ×B , при D = det(A)¹ 0 ; где
A- числовая матрица;
B- матрица-столбец свободных членов (ответов);
X- матрица-столбец неизвестных.
Пример: Решить систему уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы)
Найти все неизвестные системы матричным методом решения систем линейных алгебраических уравнений.
ì3x -5x |
3 |
= 5 |
|
ì3x + 0x -5x |
3 |
= 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
ï |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ïíx1 |
+ 3x2 = -1 Þ |
ïíx1 +3x2 + 0x3 = -1 Þ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
î2x2 + x3 = -2 |
|
î0x1 + 2x2 + x3 = -2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
æ3 0 -5ö |
|
|
æ 5 ö |
|
|
|
æ x1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
Þ A = |
ç1 3 0 |
÷; B = |
ç |
-1÷; X = ç x2 |
÷ |
Þ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ç |
0 2 1 |
÷ |
|
|
ç |
- 2÷ |
|
|
|
ç x |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
è |
ø |
|
|
|
è 3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ -3 |
10 |
-15ö |
|
|
|
|
|
|
||||
Þ |
det(A)= -1 ¹ 0; |
|
|
ç |
- 3 |
5 |
÷ |
Þ (*) |
|
|
|
|
|
|||||||||
A−1 = ç 1 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
6 |
|
- 9 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è- 2 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||
|
æ - 3 10 -15öæ 5 ö æ(- 3)5 +10(-1)+ (-15)(- 2)ö æ 5 ö |
|
||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
-3 5 |
֍ |
÷ |
= |
ç |
5+ (- 3)(-1)+ 5(- 2) |
÷ |
ç |
- 2 |
÷ |
Þ |
||||||||
X = ç 1 |
|
|
֍ |
-1÷ |
ç 1× |
÷ |
= ç |
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
֍ |
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
ç |
2 |
÷ |
|
|
è - 2 6 -9 øè |
- 2ø è (- 2)5 + 6(-1)+ (- 9)(- 2) |
ø è |
ø |
|
|||||||||||||||||
|
æ x1 |
ö æ 5 ö |
|
ìx1 = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
÷ |
ç |
|
÷ |
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ |
ç x2 |
÷ |
= ç |
- 2 |
÷ |
Þ |
íx2 |
= -2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ç x |
÷ |
ç |
2 |
÷ |
|
ïx |
3 |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
è 3 |
ø |
è |
|
ø |
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) – Для того чтобы научиться находить обратные мат- рицы читайте раздел «Обратная матрица».
|
Ответ получен. |
Андрей Ивашов |
- 15 - |
Метод нахождения обратной матрицы из матрицы
второго порядка....................................................................... |
- 12 - |
Теорема Лапласа...................................................................... |
- 13 - |
Метод Гаусса............................................................................ |
- 14 - |
Решение систем уравнений........................................................ |
- 15 - |
Матричный метод................................................................. |
- 15 - |
Метод Крамера........................................................................ |
- 16 - |
Метод Гаусса............................................................................ |
- 16 - |
Ранг матрицы................................................................................. |
- 18 - |
Метод окаймления миноров................................................ |
- 18 - |
Метод Жордана - Гаусса....................................................... |
- 18 - |
Линейная зависимость................................................................ |
- 20 - |
Метод проверки....................................................................... |
- 20 - |
Базис................................................................................................... |
- 21 - |
Нахождение матрицы оператора при смене базиса.- 21 - |
|
Нахождение координат вектора при смене базиса.... |
- 22 - |
Заключение....................................................................................... |
- 23 - |
Примеры с решениями.................................................................. |
- 24 - |
Содержание...................................................................................... |
- 30 - |
Андрей Ивашов |
- 2 - |
Андрей Ивашов |
- 31 - |
|
|
æ |
1 |
a12 |
|
|
|
ç |
|
|
|
Диагональная – A |
= |
ç a12 |
1 |
||
mm |
|
ç |
M |
|
M |
|
|
ç |
a |
||
|
|
ç a |
2m |
||
|
|
è |
1m |
|
La1m
La2m
M M
L1
ö
÷
÷÷ - матрица, на
÷
÷
ø
главной диагонали которой находятся только единицы.
|
|
çæ a11 |
a12 |
|
Симметрическая – A |
= |
ç a12 |
a22 |
|
mm |
|
ç |
|
M |
|
|
ç M |
a |
|
|
|
ç a |
2m |
|
|
|
è 1m |
|
La1m
La2m
M M
Lamm
ö
÷
÷÷ - матрица,
÷
÷
ø
все элементы которой подчиняются правилу aij = aji , все- гда квадратная.
|
çæ a11 |
a21 |
L an1 ÷ö |
|
|||
Транспонированная – |
T ç a12 |
a22 |
L an2 |
÷ |
- матри- |
||
Amn = ç |
|
|
|
|
÷ |
||
|
ç M |
a |
M |
M M |
÷ |
|
|
|
ç a |
2m |
L a |
|
÷ |
|
|
|
è 1m |
|
|
nm ø |
|
ца, в которой все строки стоят на месте столбцов, а столбцы, соответственно, на месте строк (при этом оп-
ределитель транспонированной матрицы по отношению к исходной остаётся прежним).
|
|
çæ A11 |
A12 |
|
Союзная - A~ |
= |
ç A21 |
A22 |
|
mn |
|
ç |
M |
M |
|
|
ç |
||
|
|
ç |
A |
A |
|
|
è |
m1 |
m 2 |
LA1n
LA2n
M M
LAmn
ö
÷
÷÷ - матрица, все эле-
÷
÷
ø
менты которой заменены на их алгебраические дополне- ния.
Обратная – A−1 - матрица, удовлетворяющая условию
A× A−1 = A−1 × A = E . |
|
|
|
|
|
æ |
x |
2 yö |
|
Мультиколлинеарная – |
ç |
|
÷ |
- матрица, одна |
A = ç |
|
÷ |
||
|
è |
2x |
4 yø |
|
из строк которой линейно зависима от другой строки этой матрицы.
Соответственные матрицы – две матрицы, число
строк первой из которых соответствует числу столбцов второй, но не наоборот.
Андрей Ивашов |
- 4 - |
|
æ 2 |
|
|
-4 |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ç |
1 |
|
-2 |
|
1 |
|
|
|
|
-4 |
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
3 |
|
|
|||||||||
A = |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
2 |
|
|
2,3 |
= |
|
= 2 |
¹ 0 |
||||||||||||||||||||
ç |
|
0 1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
÷ |
Þ M1 = -4 |
¹ 0 Þ M1,2 |
-2 1 |
||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ç |
4 |
-7 |
4 |
|
|
-4 |
|
5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
-4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-4 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
-2 |
|
1 |
|
-4 |
|
|
|
||||||||||||
Þ M1,2,31,2,3 |
= |
1 |
|
|
-2 |
1 |
|
=1 |
¹ 0 Þ M1,2,3,41,2,3,4 |
= |
|
|
= 0; |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
1 -1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
-7 |
4 |
|
-4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M1,2,3,41,2,3,5 = |
|
|
1 |
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
= 0 Þ rang( A) = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
1 -1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
-7 |
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ получен. 14.Пример: Найти матрицу оператора в базисе e¢ ,
|
если в базисе e матрицаимеет вид Ae |
|
|||||||||||||
|
ìe1¢ = e1 - e2 + e3 |
|
|
æ 0 1 1ö |
|
|
|
|
|||||||
¢ |
ï |
¢ |
= -e1 + e2 - 2e3 ; |
Ae = |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
||
e : íe2 |
ç |
-1 0 1 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
¢ |
= -e1 + 2e2 + e3 |
|
ç |
|
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|||
|
îe3 |
|
è |
|
|
-1 1ø |
|
|
|
|
|||||
|
æ |
1 -1 -1ö |
|
|
|
|
æ 5 3 -1ö |
|
|
|
|
||||
|
ç |
-1 1 2 |
÷ |
Þ |
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
P = ç |
÷ |
P−1 = ç |
3 2 -1÷ ; |
|
|
|
|
||||||||
|
ç |
1 -2 1 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|
è |
1 1 0 ø |
|
|
|
|
|||
|
|
æ 5 3 -1ö æ 0 1 1ö æ 1 -1 -1ö æ -3 -4 23ö |
|||||||||||||
A |
= |
ç |
3 2 -1÷ |
×ç |
-1 0 1÷ |
×ç |
-1 1 2 |
÷ |
= ç |
-3 -1 15 |
÷ . |
||||
e′ |
|
ç |
÷ |
ç |
|
|
÷ |
ç |
|
÷ |
ç |
|
÷ |
||
|
|
ç |
÷ |
ç |
1 |
|
÷ |
ç |
1 -2 1 |
÷ |
ç |
0 -2 5 |
÷ |
||
|
|
è |
1 1 0 ø è |
-1 1ø è |
ø è |
ø |
Ответ получен.
Андрей Ивашов |
- 29 - |