Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Алгебра и начала анализа

Файл:

Математические формулы и методы их применения / Пределы

.pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

157.66 Кб

Скачать

☆

Пределы

2004 г.

Андрей Ивашов

Примеры для решения

11. Пример: Решить предел

lim

2 + x - x2

;

x→2

3 - x -1

lim

x(x2 + x -1)

;

x→0 5x2 + 3x +1 - 2x -1

lim

3x +1

;

x→∞

x2 + 3 -

x +

lim

(6x -1)(2

x + 3)

;

x→∞

9x6 +1 + 3x

lim

(4x

(

- 2x));

4x2

x→+∞

lim

çctg (x +1) -

;

sin (x +

x→−1

1) ø

lim

3x - 9

;

ln(x -1)ln

(x +1)

x→2

lim

(3x -1)×ln

(2 - x3 )

;

sin (1- x)

x→1

lim

2x2 +x - 4

;

(

)(

)

+ x

4x - 3 -

5 x

x→1 ln 1

lim

æ 2 + x öö

;

ç x ×ln ç

÷÷

x→∞

øø

Андрей Ивашов

- 18 -

Теоремы о пределах

Существуют ситуации, когда обычные теоремы о пределах не работают. Данные ситуации есть

неопределённости, возникающие, если предел функции f (x) в точке x0 сводится к одному из следующих значений:

[0 / 0], [¥	é	0	0 ù	é ∞ ù	é	0 ù . Стоит также
[0 / 0], [¥	/ ¥], [0 ×¥], [¥ - ¥], ë	0	û	, ë1 û	, ë¥	û

иметь в виду, что на бесконечно-большие функции

свойства связанные с действиями над пределами могут не распространяться.

1.Функция f (x) имеет в точке x0 предел тогда и только

тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

2.Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов слагаемых, если все эти пределы существуют.

lim( f (x)± g (x)) = lim f (x) ± lim g (x)
x→x0	x→x0	x→x0

3.Предел произведения конечного числа функций,

имеющих пределы в точке x0 , равен произведению пределов сомножителей.

lim( f (x)× g (x)) = lim f (x)× lim g (x)
x→x0	x→x0	x→x0

4. Предел постоянной функции равен самой постоянной.

lim C = C

x→ x0

5.Предел частного двух функций, имеющих пределы в

точке x0 , равен частному пределов если предел знаменателя не равен нулю.

	f (x)		lim f (x)
lim	f (x)	=	x→x0	, при lim g (x) ¹ 0
lim	g (x)	=	lim g (x)	, при lim g (x) ¹ 0
x→x0	g (x)		lim g (x)	x→ x0
			x→x0

6.Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

lim (C × f (x)) = C × lim f (x)
x→ x0	x→ x0

7.Пусть функции f (x) , g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и функции f (x) , h(x)

имеют в точке x0	предел, равный A , т.е.
Андрей Ивашов	- 3 -

2 sin

× sin

sin

Э.б.м

7 x

7 .

lim

= lim

lim

2 5x

5 x

x®0

2 sin

x®0

sin

x®0

9.Пример: Решить предел следующими способами:

a)используя э.б.м.; b) по правилу Лопиталя; c) домножая на сопряженное.

5x2

- 26x + 5

0ù

5x2 - 26x + 5

lim

= ê

= lim

x®5

x + 5 ç

-1÷

x + 5

- 26x + 5

Э.б.м

- 26x + 5

= lim

lim

x - 5

x®5

x - 5

x®5

x +

5 ç

+1 -1÷

x + 5 ×

x + 5

1 ö

2×

(x - 5) x + 5

5ç x -

(

)

5 ø

(

)

x®5

x +

x®5

= lim

(x -5)

= lim

-1

= 48 10 ;

5x2

- 26x + 5

0ù

п.Л .

10x - 26

lim

= ê

= lim

2x - x

x®5

(2x)-2

× 2 -

(x + 5)-2

= lim

10x - 26

= lim

10x - 26

x®5

x®5 2 x

+ 5 -

x + 5

(10x - 26)(2

)

= lim

x + 5

480

= 48

10 ;

x®5

2 x + 5 -

(x -5)

(

2x + x + 5)

- 26x

+ 5

0ù

5ç x -

lim

= ê

= lim

x®5

2x - x

x®5

2x - x -5

lim

(5x -1)(

) = 48

x + 5

x®5

Ответ получен.

10.

Пример: Исследовать непрерывность

y =

1+ 2x

Андрей Ивашов

- 16 -

Вычисление пределов

Решение задач на вычисление пределов целиком и полностью основано на школьной программе изучения математики. В простейшем случае в функцию предела

достаточно подставить точку к которой стремится её переменная и вычислить ответ. В стандартных же

заданиях перед этим ещё необходимо избавиться от неопределённости – ситуации, когда нет возможности

использовать ни одну теорему о пределах и тем самым упростить функцию. Для этого были созданы всевозможные правила и теоремы, которые будут рассмотрены далее. А пока рассмотрим простейшие примеры пределов.

Пример: Решить предел

	x2	- 4	é0		ù		(x - 2)(x + 2)	= lim(x + 2) = 4 .
lim			= ê		ú	= lim
	x	- 2		0			x - 2
x®2			ë		û	x®2		x®2

Ответ получен.

Как видно, в решении данных пределов нет ничего сложного

и к ним не были применены никакие новые правила и формулы преобразования. Впоследствии же нам могут пригодится следующие преобразования: расширение дроби, домножение на сопряжённое, вынесение за скобку переменной в максимальной степени.

Все неопределённости описаны выше, некоторые из них

можно привести к нужному нам виду используя следующие формулы преобразования:

lim( f (x)- g (x))

= [¥ - ¥]= lim

g (x)

(x)

0ù

= ê

ú ;

x®x0

0û

f (x)× g (x)

lim( f (x)× g (x)) = [0×¥] = lim

f (x)

= lim

g (x)

= êé[0 /0]

;

x®x0

ê[¥ / ¥]

g (x)

f (x)

éé 0

lim f (x)

(

)

ë0

= exp lim (g (x)× ln f (x)) = [0 ×¥].

g(x)×ln f ( x)

êé 0 ù

g x

ë¥

û = lime

x®x0

é1¥

ëë

Андрей Ивашов

- 5 -

Примеры с решениями

1. Пример: Решить предел

x ç

+1 + x

é¥

ù = lim

lim

= lim

x→∞

+ x - x

x→∞

ë¥

û x→∞

-1

xç

-1÷

=1+ 0 + 0 = -1 . 40 + 0 -1

2. Пример: Решить предел

Ответ получен.

(

)×(

)ö

(

)

x +1

lim

x +1 - x

¥ - ¥ = lim

x→+∞

[

] x→+∞ ç

(

x +1 +

x )

(x +1- x)

= lim ç

= 0 .

x→+∞ èç

(

x +1 +

x )ø÷

x→+∞ èç

( x +1 +

x )ø÷

Ответ получен. 3. Пример: Решить предел используя теоремы о

пределах

öæ

lim

5 ç

÷ç16

= 5 limç

2 +

÷ç16 -

x→∞

øè

x→∞ è

øè

1 ö

öæ

1 ö

= 5 limç

÷limç16 -

= 5

çlim2 + lim

÷çlim16

- lim

x→∞ è

x ø x→∞

è x→∞

x→∞ x

øè x→∞

x→∞ x

= 5(2 + 0)(16 − 0) = 532 = 2 .

Ответ получен.

4.Пример: Решить предел используя правило Лопиталя

ln x

é-¥

п.Л .

-sin2

lim

= ê

lim

= lim

x→0

ctg x

ë ¥

x→0

= lim -2sin x cos x

sin2 x

= lim -sin 2x = 0 .

п.Л .

x→0

é0ù п.Л .

=ê ú = ë0û

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 14 -

Эквивалентность бесконечно-малых

Рассмотрим две бесконечно-малые, это функции α (x) и β (x) , бесконечно-малые при x ® x0 . Теперь если две эти

функции ещё и эквивалентны, то при решении пределов мы

можем заменять их друг на друга не боясь совершить ошибку. Чтобы выяснить являются ли они эквивалентными необходимо найти предел их отношения.

			é1	Þ	α (x) и β (x) эквивалентны;
	α (x)		ê		α (x) и β (x) одного порядка малости;
lim		=	êconst ¹ 0 Þ
			êê0
	β (x)				α (x) более высокого порядка, чем β (x);
x→x0				Þ
			ê	Þ	β (x) более высокого порядка, чем α (x).
			ë¥
Существует				известная таблица уже определённых

эквивалентностей. При x ® 0 :


sin x : x ;
tg x : x ;
ln (1+ x) : x ;
ex -1 : x ;
arcsin x : x ;
arctg x : x ;
ax -1 : x Þ		(ax -1) : x × ln a ;
ln a
(1+ x)m -1	: x Þ		((1+ x)m -1): x × m .

m

Данная таблица эквивалентностей бесконечно-малых действительна только если x ® 0 , где x - функция.

Одна из самых распространённых ошибок это использование эквивалентностей для упрощения отдельных членов суммы или разности. Помните, что их

можно применять лишь если заменяемый член является элементом произведения.

Андрей Ивашов

- 7 -

Пример: Исследовать непрерывность

y = x2 + 8 x - 4

Df (x) : x ¹ 4 .

Рассмотрим точку x = 4 :

lim	x2 + 8	= -¥ ;	lim	x2 + 8	= +¥ ;
	x - 4			x - 4
x→4−			x→4+

y(4) = $

	100
10	0	10
	100

Þ В точке x = 4 функция терпит разрыв II-го рода.

Ответ получен.

Асимптоты

Асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь называется прямая, обладающая следующим свойством:

расстояние от точки кривой до прямой стремиться к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат на бесконечной ветви. Ну а кривая имеет бесконечную ветвь, если координаты её точек могут неограниченно возрастать по абсолютной величине. Заметим, что не каждая кривая с бесконечной ветвью имеет асимптоты.

Вертикальные асимптоты

lim y(x) = ± ∞ , где a - точка разрыва II-го рода.

x→a

(Рассматривать необходимо не саму точку, а её окрестности, т.е. два односторонних предела.)

Следовательно вертикальная асимптота проходит через точку бесконечного разрыва, либо на границе области определения.

Пример: Найти вертикальные асимптоты

	1			10
y = x -1				10
y = x -1
Df (x) :		x ¹ 1 .		5
lim	1	= +¥ ;	10	0	10
x→1+	x -1		10	0	10
lim	1	= -¥ ;		5
lim	1	= -¥ ;
x→1−	x -1			10
Þ				10
Þ	x =1 - вертикальная двусторонняя асимптота.
				Ответ получен.

Замечательные (классические) пределы

Данные пределы также называются табличными и используются для упрощения решения пределов. Мы рассмотрим самые распространённые из них. Большинство пределов, решаемых с помощью замечательных пределов, можно, также, решить и с помощью эквивалентностей бесконечно-малых.

lim

ln(1+ x)

= 1

lim

loga (1+ x)

ln a

x→0

lim sin x = 1 ;

x→0

lim

tg x

=1 ;

x→0

lim

öx

1 öax

ç1+

÷ = e

limç1

= e

x→∞

x→0 è

x ø

lim ax -1

= ln a ;

x→0

lim

(1+ x)a -1

= a ;

x→0

lim

= 0 ;

x→∞ n!

lim

2π ;

x→∞ xx ×e− x ×

2 ×4 ×6×...×(2x)

ö2

π .

lim

÷ ×

x→∞

1×3×5×...×(2x -1) ø

;

lim(1+ x)x = ea ;

x→0

Пример: Решить предел используя классические пределы

lim	sin 4x	é0		ù	= lim	4 ×sin 4x	= 4 lim	sin 4x К .п.		= 4 .
	x	= ê	0	ú		4× x		4x	= 4lim1
x→0		ë		û	x→0		x→0		x→0

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 12 -

Андрей Ивашов

- 9 -

Содержание	- 3 -
Теоремы о пределах .........................................................................	- 3 -
Определения.......................................................................................	- 4 -
Вычисление пределов.......................................................................	- 5 -
Золотая теорема............................................................................	- 6 -
Правило Лопиталя..........................................................................	- 6 -
Эквивалентность бесконечно-малых.......................................	- 7 -
Замечательные (классические) пределы.................................	- 9 -
Нахождение производной............................................................	- 10 -
Непрерывность функции............................................................	- 11 -
Асимптоты......................................................................................	- 12 -
Вертикальные асимптоты.................................................	- 12 -
Наклонные (горизонтальные) асимптоты...................	- 13 -
Примеры с решениями..................................................................	- 14 -
Содержание......................................................................................	- 19 -

Андрей Ивашов

- 2 -

Андрей Ивашов

- 19 -

lim f (x) = lim h(x) = A . Пусть, кроме того, выполняется
x→ x0	x→ x0

неравенство f ( x) < g (x) < h( x) . Тогда lim g(x) = A .

x→ x0

Всегда, прежде чем упрощать предел функции нужно обязательно проверить его на неопределённость.

Определения

Число

называется пределом функции f (x)

в точке

x = x0 ,

если

для

любой

сходящейся

последовательности

( x1, x2 , x3,K, xn,K )

значений

аргумента x , отличных от x0 , соответствующая

последовательность

( f ( x1 ), f ( x2 ), f (x3 ),K, f ( xn ),K )

значений функции сходится к числу A .

Число

называется пределом функции f (x)

в точке

x = x0 , если для любого числа ε > 0 существует число

δ > 0

такое,

что

для

всех

xÎ X ,

x ¹ x0 ,

удовлетворяющих неравенству

x - x0

< δ , выполняется

неравенство

f (x) - A

< ε .

Число A называется правым (левым) пределом функции

f (x) в

точке

x0 , если для любой

сходящейся

к x0

последовательности ( x1, x2 , x3,K, xn,K ), элементы xn

которой больше (меньше)

x0 ,

соответствующая

последовательность

( f (x1 ),

f (x2 ),

f (x3 ),K, f (xn ),K )

сходится к A .

Число

называется

пределом

функции

f (x) при

x → ∞ ,

если

для

любой

бесконечно

большой

последовательности

( x1, x2 , x3,K, xn,K )

значений

аргумента

соответствующая

последовательность

( f (x1 ),

f (x2 ), f (x3 ),K, f (xn ),K )

значений

функции

сходиться к A .

Df (x):		x ¹ 0 ;					1
Рассмотрим точку x = 0 :							1
Рассмотрим точку x = 0 :
lim	1	1	=1;
lim		1	=1;
x→0−	1+ 2x						0.5
	1+ 2x						0.5
lim	1	1	= 0;
x→0+	1+ 2x
	1+ 2x
y(0) = $;			(разрыв II-го рода).			10	0	10
Þ	Функция			непрерывна	на		x
xÎ(-¥;0)U(0; +¥) , в точке x = 0						– разрыв II-го рода.
							Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 4 -

Андрей Ивашов

- 17 -

Золотая теорема

Данная теорема – теорема об отношении многочленов.

				ék > l	Þ	¥;
lim	a	xk + a xk−1	+K	ê	Þ	a	;
lim	0	1		= êk = l	Þ	0	;
x→∞	b0xl + b1xl −1 +K			ê		b0
				ê	Þ	0.
				ëêk < l	Þ	0.

Пример: Решить предел по золотой теореме

	(x2 - 4)(x +1)			é¥		ù	З.т. 1
lim				= ê		ú	=		.
	(2x + 3)(2x	2	-16)		¥			4
x→∞				ë		û

Ответ получен.

Однако хочу предостеречь вас от повсеместного использования такой замечательной теоремы на практике. Дело в том, что далеко не в каждом ВУЗе её проходят в базовой программе, вследствие чего, вы вполне можете получить конфликт с вашим преподавателем.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя есть метод раскрытия неопределённостей вида [0 / 0] и [¥/ ¥] . Используется для

решения пределов сводящихся именно к этим неопределённостям. Суть его в нахождении производных функций числителя и знаменателя (отдельно) и получения эквивалентного предела.

	f (x)	é[0/ 0]			f ¢(x)
lim		= ê	]	= lim
lim	g (x)	= ê		= lim	g¢(x)
x→x0	g (x)	ê[¥/ ¥		x→x0	g¢(x)
		ë

Стоит помнить, что если предел отношения производных не существует, то это ещё не значит, что не существует предел данного отношения, в этом случае приходиться

отказаться от правила Лопиталя и решать предел другими способами. Иногда есть необходимость в многократном применении правила Лопиталя, но здесь

необходимо не забывать проверять неопределённость после каждой итерации.

Пример: Решить предел используя правило Лопиталя

lim

1- cos x

é0

п.Л .

lim

sin x

0ù

п.Л .

lim

cos x

= ê

x→0

0û

x→0

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 6 -

5.Пример: Решить предел используя классические пределы

é ∞ ù

2 x

К .п.

)

= lim e = +¥ .

lim

= 1

= lim ç

lim

ë û

x→+∞

x→+∞ è

x→+∞è

Ответ получен.

6.Пример: Найти производную используя её определение

y = ln (x2 −1)

1)y(x) = ln (x2 −1) ;

2)y (x + Dx) = ln ((x + Dx)2 -1) ;

3)Dy = ln ((x + Dx)2 -1)- ln (x2 -1) = ln (x + Dx)2 -1 =

x2 -1

æ (x + Dx)2 -1

æ Dx(2x + Dx)

;

= ln ç

-1÷

+1÷ = ln ç

+1÷

-1

x -1

æ Dx(2x + Dx)

Dy =

lnç

-1

+1÷

;

æ Dx

(2x + Dx)

Dx (2x + Dx)

lnç

x2 -1

+1÷

ø Э.б.м

x2 -1

lim

y = lim

-1

x→0

Ответ получен.

7. Пример: Решить предел используя э.б.м.

eα x - eβ x

0ù

eβ x (eα x−β x -1) Э.б.м

eβ x (α x - β x)

lim

= ê

= lim

lim

x→0

0û

x→0

= lim (eβ x (α − β )) = α − β .

x→ 0

Ответ получен.

8. Пример: Решить предел используя э.б.м.

cos x - cos(6x)

é 0

cos x - cos(

6x) = -2sin

×sin

-5x

lim

= ê

1- cos (5x)

1- cos(5x)

2 5x

x→0

ë 0

= 2sin

Андрей Ивашов

- 15 -

Пример: Решить предел используя э.б.м.

lim	sin 4x	é0		ù	Э.б. м	lim	4x	= 4 .
	x	= ê	0	ú	=		x
x→0		ë		û		x→0

Ответ получен.

Следует не забывать, что в приведённой выше таблице эквивалентностей x является функцией, а функция в свою очередь зависима от переменной, через которую она выражена. Отсюда – сама переменная функции может стремиться к чему угодно и не обязательно к нулю. Разберём это на конкретном примере.

Пример: Решить предел используя э.б.м.

ln(6 + x) - ln 9

é0 ù

6 + x

lim

= ê ú

= lim

sin (2x -1)- sin 5

2x -1-

2x -1+ 5

x→3

ë 0û

x→3

2sin

×cos

9 -3 + x

x - 3 ö

lnç1+

Э.б.м

= lim

(*)

-3)× cos (x + 2)

2sin(x -3)×cos (x + 2)

x→3 2sin(x

x→3

= lim

x - 3

= lim

1 .

Э.б.м

x→3

2(x -3)× cos (x + 2)

18cos(x + 2)

18cos5

(*)

– Т.к.

при

x ® 3 ,

x -3

® 0 имеем

полное

право

применять эквиваленты бесконечно малых для решения этого предела.

Ответ получен.

Наклонные (горизонтальные) асимптоты

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной. При достижении наклонной асимптоты

график функции может неопределённое количество раз пересекать её.

y = kx + b ;

где k1,2	= lim	f (x)	,	b1,2	= lim	( f (x) - kx) .
		x
	x→± ∞				x→± ∞

Если k и b существуют и не равны ∞ , то наклонная (горизонтальная) асимптота существует и находится по формуле уравнения прямой ( y = kx + b ). В противном случае

наклонной асимптоты нет.

Пример: Найти наклонные асимптоты

y =

Df (x) :

xÎ R .

f (x)

= lim

= 0 ;

x→+∞

x→+∞ ex × x

x→+∞ ex

( f (x)- kx) = lim

é¥

п.Л .

= lim

= ê

= lim

= 0 ;

x→+∞

x→+∞ e

ë¥

x→+∞ e

Þ При x ® + ¥ ,

y = 0 - горизонтальная асимптота.

= lim

f (x)

= lim

= +¥ ;

x→−∞

x→−∞ ex × x

x→−∞ ex

Þ При x → −∞ , асимптот нет.

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 8 -

Андрей Ивашов

- 13 -

Нахождение производной

Вычислить производную функции можно не только с помощью уже знакомых нам формул производных основных функций, но и используя само определения производной, ключевую роль в которой играют пределы.

f ¢(x) = lim	f ( x + Dx) - f ( x)
x→0	Dx

Дабы упростить пользование этой формулой был предложен следующий алгоритм, состоящий из пяти шагов:

1.y = y (x) - фиксируем переменную;

2.y(x + Dx) - задаём Dx ;

3.Dy = y (x + Dx) - y(x) - составляем разность;

4.DDyx - составляем отношение;

(На этом этапе выгодно попытаться упростить выражение с учетом того, что оно будет использоваться в пределе и решаться через эквиваленты бесконечно-малых.)

5. y¢ = lim Dy - находим производную (решаем предел).

x→0 Dx

Ну а теперь, после получения ответа, ничто не мешает нам сделать проверку, найдя производную функции более распространённым способом – по основным формулам производных функций.

Пример: Найти производную используя её определение

y= 5x + 3

1.y(x) = 5x + 3 ;

2.y(x + Dx) = 5(x + Dx)+ 3 = 5x + 5Dx + 3 ;

3.Dy = 5x + 5Dx + 3 - 5x -3 = 5Dx ;

4.DDyx = 5DDxx = 5 ;

5.	¢	= lim	Dy	= lim 5 = 5 .
5.	y	= lim	Dx	= lim 5 = 5 .
		x→0	Dx	x→0
				Ответ получен.
Андрей Ивашов				- 10 -

Непрерывность функции

Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Рассмотрения

заслуживают лишь точки выделяющиеся по Df (x) и те,

что выделены в задании. Если таких несколько, то и рассматривать их необходимо по отдельности, однако

если Df (x) определена функция уже не является

непрерывной и необходимо лишь определить род разрыва в
каждой их этих точек.
· Функция непрерывна если lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0−	x→x0+

·Разрыв I-го (первого) рода функция терпит в точке x0 ,

если lim f (x) ,	lim f (x) , f (x0 ) существуют,но не равны.
x→x0−	x→x0+

·Разрыв II-го (второго) рода функция терпит в точке

x0	, если хотя бы один из lim f (x) ,	lim f (x) и f (x0 ) не
	x→x0−	x→x0+

существует, или равен ±¥ .

Пример: Исследовать непрерывность

	y = 3x	10
	Df (x) : xÎ R Þ	10
	Df (x) : xÎ R Þ

Þфункция непрерывна.

Ответ полученx .

Пример: Исследовать непрерывность

ì-x		при x £ 0;
ï		при 0 < x £ 4;
y = íx +1
ï
	x + 3	при x > 4.
î

Df (x) : x ³ 0 .

Рассмотрим точку x = 0 :

	5
10	0	10
	x

lim	(−x) = 0;		lim (x + 1) = 1;				y (0) = 0				(разрыв I-го рода).
x→ 0−			x→ 0+
Рассмотрим точку x = 4							:
x→4−	(	)	x→4+ (			)		(		)
lim		x +1 = 5;	lim	x	+ 3		= 5; y		4		= 5 (непрерывна).

Þ Функция непрерывна	на xÎ(-¥;0)U(0; +¥) , в точке
x = 0 – разрыв I-го рода.	Ответ получен.
	Ответ получен.
Андрей Ивашов	- 11 -

Соседние файлы в папке Математические формулы и методы их применения

#
02.05.2014204.22 Кб146Линейная алгебра. Матрицы.pdf
#
02.05.2014284.26 Кб162Математические формулы и методы их применения.pdf
#
02.05.2014157.66 Кб144Пределы.pdf