33 Корневые методы оценки качества сау.
О динамических свойствах системы можно судить по расположению нулей и полюсов передаточной функции на комплексной плоскости.
Для анализа используют передаточную функцию замкнутой системы. Для выбора наилучших параметров САУ, а так же для их коррекции используют существующую методику и закономерности по расположению нулей и полюсов замкнутой системы.
Рассмотрим влияние нулей и полюсов на переходную характеристику системы:
Для
упрощения примем, что передаточная
функция замкнутой системы
.
В рассматриваемом случае, когда система
имеет один вещественный полюс, запишем:
где,
Переходная
характеристика для данного случая будет
совпадать с переходной характеристикой
апериодического звена первого порядка
Время
переходного процесса в системе будет
тем больше, чем ближе полюс
расположен
к мнимой оси.
Рассмотрим второй случай: когда система имеет два комплексно сопряжённых корня:
Запишем передаточную функцию замкнутой системы:
для
данного случая будет соответствовать
переходной характеристике колебательного
звена с коэффициентом передачи равным
единице.
Аналитически запишем выражение для переходной характеристики:
где
В данном случае, аналогично предыдущему, время переходного процесса будет тем больше, чем ближе полюсы расположены к мнимой оси.
Существуют следующие закономерности при построении графика переходной характеристики:
Наибольшего значения график достигает в момент времени:
Перерегулирование так же можно записать через параметры САУ:
Данное выражение позволяет установить, что перерегулирование системы…
Перерегулирование в системе зависти от отношения мнимой части к действительной:
– колебательность
САУ.
При
равном удалении полюсов от мнимой оси,
перерегулирование будет больше в той
системе, у которой полюсы дальше отстоят
от вещественной оси. Кроме того увеличение
колебательности
будет
приводить к возрастанию перерегулирования.
Следующий рассматриваемый случай: когда система имеет два комплексно сопряжённых корня и один отрицательный ноль:
Переходная
функция такой системы равна сумме
переходной характеристики колебательного
звена и производной от
колебательного звена, умноженного на
.
Таким образом увеличивается быстродействие системы при добавлении одного отрицательного нуля. Так же увеличивается перерегулирование. Перерегулирование тем больше, чем ближе расположен к оси ноль
Рассмотрим следующий случай: когда система имеет два комплексно сопряжённых и одни вещественный полюс.
Добавление
вещественного полюса
уменьшает перерегулирование и увеличивает
время переходного процесса
Анализируя
данное выражение, сделаем вывод, что
добавление вещественного отрицательного
полюса уменьшит коэффициенты в выражении
и это в свою очередь приводит к уменьшению
перерегулирования. Для оценки
быстродействия времени переходного
процесса рассмотрим семейство переходных
характеристик:
На
дано рисунке показана графики
при различных значения вещественного
полюса
.
Из рисунка видно, что приближение
к
мнимой оси будет уменьшать перерегулирование,
но увеличивать время переходного
процесса, снижая при этом быстродействие.
Если же
будет ближе к мнимой оси чем пара
комплексно сопряжённых полюсов
и
,
то переходная характеристика такой
системы будет монотонна, а перерегулирование
.
Удаление от мнимой оси будет уменьшать его влияние на переходную характеристику. Если же находится от мнимой оси в несколько раз дальше чем ближайшие к мнимой оси полюсы и , то составляющая переходной функции будет затухать очень быстро и этим влиянием можно пренебречь
В данном случае можно пренебречь влиянием на системы комплексно сопряжённый полюсов, расположенных от мнимой оси в несколько раз дальше, чем ближайший к мнимой оси вещественное или комплексносопряжённые полюсы.
Вследствие
малого влияния на
полюсов расположенных далеко от мнимой
оси, о поведении САУ и её динамических
свойствах можно судить по расположению
лишь ближайших к мнимой оси полюсов
и
по
нулям. Данное обстоятельство значительно
упрощает анализ САУ корневыми методами.