Задача №15

Возвести число А в натуральную степень n за как можно меньшее количество умножений.

Можно, конечно, число A умножить само на себя n-1 раз, но для этого надо выполнить n-1 операцию умножения. Рассмотрим метод, требующий меньшего числа умножений (он, однако, не всегда дает минимальное число умножений).

Если n - четное, n=2m то будем вычислять Aⁿ, используя тождество A^am=(A^m)²;

если же n=2m+1, то

A^2m+1=(A^2m)*A=((A^m)²)*A.

Так(м образом, возведение A в 13 степень будет выглядеть следующим образом:

(A¹³)=((A⁶)²)*A=(((A³)²)²)*A=(((A*A*A)²)²)*A

и вычисление требует 5 операций умножения.

Используя данный метод, для возведения в степень n потребуется порядка log₂(n) операций умножения.

Программа на Паскале может выглядеть так:

var A,N: integer;

function power(N: integer): integer;

begin

if N>1

then if odd(N) {N нечетно?}

then power:=SQR(power(N div 2))*A else power:=SQR(power(N div 2))

else power:=A

end;

begin

read(A,N);

writeln(power(N));

end;

Можно ту же самую идею реализовать и по другому ( далее мы приводим выдержку из книги Д.Кнута "Искусство программирования для ЭВМ", т.2, с.482):

"Запишем n в двоичной системе счисления и заменим в этой записи каждую цифру "1" парой букв SX, а каждую цифру "0" - буквой S, после чего вычеркнем крайнюю левую пару букв SX. Результат, читаемый слева направо, превращается в правило вычисления xⁿ, если букву "S" интерпретировать как операцию возведения в квадрат, а букву "X" - как операцию умножения на x. Например, если n=23, то его двоичным представлением будет 10111; строим последовательность SX S SX SX SX, удаляем из нее начальную пару SX и в итоге получаем следующее правило вычисления: S SX SX SX. Согласно этому правилу, мы должны "возвести x в квадрат, затем снова возвести в квадрат, затем умножить на x, возвести в квадрат, умножить на x, возвести в квадрат и, наконец, умножить на x"; при этом мы последовательно вычисляем x², x⁴, x⁵, x¹⁰, x¹¹, x²², x²³.

Этот "бинарный метод" легко обосновать, рассмотрев последовательность получаемых в ходе вычисления показателей: если "S" интерпретировать как операцию умножения на 2, а "X" - как операцию прибавления 1 и если начать с 1, а не с x, то наше правило дает нам в соответствии со свойствами двоичной системы счисления число n".

Приведенный метод не дает минимального числа операций умножения. Для вычисления x²³ нам, по изложенному выше методу, потребуется 7 операций умножения. В действительности их необходимо только 6:

x -> x² -> x³ -> x⁵ -> x¹⁰ -> x²⁰ -> x²³.

Задача №16

Найти максимальную по длине последовательность z, полученную вычеркиванием элементов как из x, так и из y.

Пусть x=x₁,x₂, ... ,x_m, y=y₁,y₂, ... ,y_n.

Заведем матрицу A[0..m,0..n]. Элемент A[i,j] будет длиной

максимальной общей подпоследовательности y x₁, ... ,x_i и y y₁, ..., y_j. Сначала A[i,0]=A[0,j]=0, i=0, ... ,m, j=0, ... ,n. Пусть x_i=y_j, тогда требуется увеличить длину максимальной общей подпоследовательности x₁, ... ,x_i-1 и y₁, ... ,y_j-1 на 1: A[i,j]=A[i-1,j-1]+1, если x_i=y_j. В случае, если x_i<>y_j, то, очевидно, A[i,j]=max{A[i-1,j],A[i,j-1],A[i-1,j-1]}, но так как всегда A[i-1,j-1]<=A[i,j-1], то A[i,j]=max{A[i-1,j],A[i,j-1]}. Величина A[m,n] и дает длину максимальной общей подпоследовательности. Найдем саму подпоследовательность. Пусть A[m,n]=d. Двигаясь по последней строке справа налево ищем самый левый элемент в этой строке со значением d. Двигаемся от него вверх по столбцу в поиске элемента столбца с минимальным первым индексом и значением d. Пусть это A[i,j]. Элемент A[i-1,j-1] обязан быть равен d-1, а x_i и y_i - это последние общие совпадающие элементы в x и y. Начиная от элемента A[i-1,j-1] повторяем, как было описано выше, движение влево и вверх по матрице, находим предпоследний совпадающий элемент в x и y, и т.д.

Программа:

for i:=0 to m do A[i,0]:=0;

for j:=0 to n do A[0,j]:=0; for i:=1 to m do

for j:=1 to n do

if x[i]=y[i]

then A[i,j]:=A[i-1,j-1]+1

else A[i,j]:=max(A[i-1,j],A[i,j-1]);

writeln('Длина последовательности =',A[m,n]); d:=A[m,n]; i:=m; j:=n;

while (d<>0) do begin

while A[i,j-1]=d do j:=j-1;

while A[i-1,j]=d do i:=i-1;

write('Элемент последовательности номер', d,'есть', x[i]);

i:=i-1; j:=j-1; d:=d-1;

{переход к поиску предшествующего элемента в последовательности}

end;