Свойства непрерывных функций

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма также есть непрерывная функция в точке . Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

4. Если функция непрерывна в точке и , то значения функции в некоторой окрестности точки имеют тот же знак, что и .

5. Если функция непрерывна в точке и принимает в этой точке значение , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

6. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

7. Если непрерывная на некотором обрезке функция принимает на его концах значение разных знаков, то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой .

8. Если функция непрерывна в точке , то операция вычисления предела в этой точке и функции переставимы, т.е.

(30) На свойстве 8 (равенства (30)) и было основано непосредственное вычисление предела функции в случае отсутствия неопределенности (см.параграфы 16.1 – 16.4).

Если нарушается хотя бы одно условие, указанное в определении непрерывности, то называется такой разрыв функции.

Классификацию точек разрыва дают в зависимости от того, какое условие последнего определения непрерывности (в том числе равенства (29)) нарушено.

Точки разрыва I рода

1. Если существуют односторонние пределы в точке (конечные) и

,

то называется точкой устранимого разрыва.

2. Если существует односторонние пределы в точке (конечные) и , (44)

то - точка разрыва, который называется скачок.

В случае устранимого разрыва функцию можно доопределить в точке значением и она станет непрерывной.

В случае скачка сделать это невозможно.

Точки разрыва II рода

1. Если

или

то – точка разрыва, который называется бесконечный скачок. В этом случае прямая является вертикальной асимптотой.

2. Если односторонние пределы в точке не существуют (не определены), то - точка неопределенности.

Получили, что – точка разрыва I рода (скачка). Значит, функция непрерывна всюду на числовой прямой кроме точки , в которой она имеет скачок, равный 1.

Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе

Производная функции

, (1)

где – некоторые выражения с переменной x, не может быть вычислена по табличным формулам дифференцирования степенной функции и показательной функции (так как переменная находится как в основании степени, так и в её показателе). Заданная функция типа (1) называется показательно-степенной.

Способы вычисления производной показательно-степенной функции

Первый способ вычисления

Используют метод логарифмического дифференцирования. Для этого:

1. логарифмируют обе части уравнения, которым задается функция (например, по основанию ):

,

получают

;

2. дифференцируют обе части полученного равенства, где считают сложной функцией от (правую часть равенства дифференцируют как произведение функций):

3. выражают из полученного равенства :

;

4. заменяют y его выражением через x:

. (2)

При решении данным методом используют не конечную формулу (2), а реализуют процесс логарифмического дифференцирования для каждой функции типа (1).

Второй способ

На основании свойства логарифмов записывают

. (3)

Далее дифференцируют как сложную функцию.

С помощью логарифмического дифференцирования удобно также вычислять производные функций при наличии в их аналитическом задании большого количества операций умножения, деления, возведения в степень.

Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.

Уравнение

(4)

задаёт неявно функцию , если при подстановке выражения вместо в уравнение (4) оно превращается в тождество. Предположим, что функция дифференцируема и требуется вычислить

Первый способ: Если практически возможно, выражают y через x и дифференцируют y(x) по правилам дифференцирования.

Второй способ: Дифференцируем уравнение (4) по , считая, что y есть функция от x. Получаем новое уравнение, содержащее x, y и . Из него находим

Пусть функция задана параметрически уравнениями:

, (5)

где функции и дифференцируемы для любого , причем , и требуется найти

Первый способ: Из первого уравнения системы (5) выражают t через x (если это возможно) и подставляют во второе уравнение системы (5). Приходят к сложной функции от переменной , которую дифференцируют по .

Второй способ: Используют формулу

(6)

Полученное таким образом выражение для зависит от переменной . Если возможно (и необходимо) из первого уравнения системы (5) выражают через и подставляют выражение, полученное для

Необходимое и достаточное условия

Дифференцируемости функций. Дифференциал функции

Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

(7)

где. (8)

Теорема: Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы в точке существовала производная и в равенстве (7) выполнялось .

Понятие дифференцируемости функции эквивалентно равенству

(9)

где – главная часть приращения функции, а для бесконечно малой выполняется (8).

Дифференциалом функции в точке называется главная часть приращения функции. Дифференциал обозначается символом . По определению

(10)

В частности, для получим .

Тогда определение дифференциала имеет вид:

Свойства дифференциала

Пусть – дифференцируемые функции на некотором множестве .

1)

2)

3)

4)

5)

6) где – сложная функция, дифференцируемая по переменной u (свойство инвариантности дифференциала). При достаточно малом значении приращение функции с большой степенью точности можно заменить дифференциалом функции:

(11)

Формулу (11) используют в приближенных вычислениях.

С геометрической точки зрения дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к кривой в точке , когда аргумент получает приращение

Производные и дифференциалы высшего порядка

Производная определенная на некотором множестве является также функцией от x. В случае ее дифференцируемости можно вычислить ее производную. Производная от производной называется производной второго порядка:

Аналогично .

Начиная с четвертого, порядок производной обозначается только индексом в скобках (сверху). Производные порядка 1–3 также обозначаются По определению В случае дифференцируемости производной производная порядка n определяется равенством

(12)

Для производных высшего порядка справедливо свойство линейности:

где – произвольные действительные числа,

– n раз дифференцируемые функции.

Если и – n раз дифференцируемые функции, то верна формула Лейбница:

(13)

где – биномиальные коэффициенты:

.

Коэффициенты можно найти также из треугольника Паскаля. Если функция задана в неявном виде уравнением то для нахождения производной второго порядка (в случае ее существования) надо продифференцировать найденную первую производную по аргументу x, продолжая рассматривать y как функцию от x. Затем вместо надо подставить найденное ранее значение.

Если функция задана параметрически,

То находим вначале производную 1-го порядка по формуле (6) и затем

(14)

Для нахождения производной второго порядка используем формулу (6) к параметрически заданной функции (14):

Аналогично реализуем тот же подход при нахождении и т. д.

Дифференциал от дифференциала функции f в точке x (если функция определена и дважды дифференцируема) называется дифференциалом второго порядка:

Дифференциал n-го порядка функции (в случае дифференцируемости n раз, ) определяется как дифференциал от дифференциала (n–1)-го порядка:

Для вычисления дифференциала порядка n используют формулу:

(15)

Дифференциалы второго и выше порядков не обладают (в отличие от дифференциалов первого порядка) свойством инвариантности, т. е. их форма, а следовательно и способ вычисления зависят от того, является ли аргумент x независимой переменной или дифференцируемой функцией другой переменной.